Bihar Board Matrix Class 10 Math — Previous Questions & Answers 2025 (BTBC, SCERT) - AvN Learn Math: गणित का सरल अध्ययन, ज्ञान और कौशल का विकास

Table of Contents

खण्‍ड - अ

वस्तुनिष्ठ प्रश्‍न

प्रश्‍न 1

यदि किसी समांतर श्रेढ़ी का 5 वाँ पद 11 एवं सार्व अतर 2 है तो उसका प्रथम पद क्या होगा ? a. 1 b. 2 c. 3 d. 4

हल :

उत्तर: c. 3

समांतर श्रेणी के लिए, n वां पद का सूत्र निम्नलिखित होता है:

a_n = a + (n-1) \cdot d

जहाँ:

a_n = n वां पद
a = प्रथम पद
d = समान अंतर

दिए गए प्रश्न में:

a_5 = 11
d = 2
n = 5

अब हम सूत्र में मान डालते हैं:

11 = a + (5-1) \cdot 2 11 = a + 4 \cdot 2 11 = a + 8

अब, a की मान निकालते हैं:

a = 11 - 8 a = 3

इसलिए, प्रथम पद 3 होगा।

प्रश्‍न 2

n पर्दो बाले समांतर श्रेढी का योग n² + 2n + 1 है तो इसका 6 वा पद है a. 29 b. 19 c. 15 d. इनमें से कोई नहीं

हल :

उत्तर: d. इनमें से कोई नहीं

समांतर श्रेणी के योग का सूत्र दिया गया है:

S_n = n^2 + 2n + 1

यहाँ, S_n n पदों का योग है। n वें पद को निकालने के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

a*n = S_n - S*{n-1}

पहले, S_6 और S_5 का मान निकालते हैं:

S_6 के लिए:

S_6 = 6^2 + 2 \cdot 6 + 1 = 36 + 12 + 1 = 49

S_5 के लिए:

S_5 = 5^2 + 2 \cdot 5 + 1 = 25 + 10 + 1 = 36

अब 6 वें पद का मान निकालते हैं:

a_6 = S_6 - S_5 = 49 - 36 = 13

इसलिए, 6 वां पद 13 होगा।

प्रश्‍न 3

निम्नलिखित में कौन समातर श्रेढ़ी में है ? a. 1, 7, 9, 16 b. x², x³, x⁴, x⁵ c. x, 2x, 3x, 4x, … d. 2², 4², 6², 8², …

हल :

उत्तर: c. x, 2x, 3x, 4x, …

समांतर श्रेणी वह होती है, जिसमें किसी भी दो लगातार पदों का अंतर समान होता है। चलिए, प्रत्येक विकल्प की जाँच करते हैं:

विकल्पों की जाँच

a. 1, 7, 9, 16
- अंतर:
  - 7 - 1 = 6
  - 9 - 7 = 2
  - 16 - 9 = 7
- विभिन्न अंतर = समांतर श्रेणी नहीं।
b. x^2, x^3, x^4, x^5
- अंतर:
  - x^3 - x^2 = x^2(x - 1)
  - x^4 - x^3 = x^3(x - 1)
  - यहाँ अंतर अलग-अलग है = समांतर श्रेणी नहीं।
c. x, 2x, 3x, 4x, \ldots
- अंतर:
  - 2x - x = x
  - 3x - 2x = x
  - 4x - 3x = x
- सभी का अंतर समान = समांतर श्रेणी है।
d. 2^2, 4^2, 6^2, 8^2, \ldots
- श्रेणी: 4, 16, 36, 64
- अंतर:
  - 16 - 4 = 12
  - 36 - 16 = 20
  - 64 - 36 = 28
- विभिन्न अंतर = समांतर श्रेणी नहीं।

प्रश्‍न 4

निम्नलिखितं में कौन समांतर श्रेढी में नहीं है ?

1, 2, 3, 4, …

3, 6, 9, 12, …

2, 4, 6, 8, …

2², 4², 6², 8², …

हल :

उत्तर: d. 2², 4², 6², 8², …

समांतर श्रेणी वह होती है, जिसमें लगातार दो पदों का अंतर समान होता है। आइए, प्रत्येक विकल्प की जाँच करें:

विकल्पों की जाँच

a. 1, 2, 3, 4, …
- अंतर:
  - 2 - 1 = 1
  - 3 - 2 = 1
  - 4 - 3 = 1
- सभी का अंतर समान है = समांतर श्रेणी है।
b. 3, 6, 9, 12, …
- अंतर:
  - 6 - 3 = 3
  - 9 - 6 = 3
  - 12 - 9 = 3
- सभी का अंतर समान है = समांतर श्रेणी है।
c. 2, 4, 6, 8, …
- अंतर:
  - 4 - 2 = 2
  - 6 - 4 = 2
  - 8 - 6 = 2
- सभी का अंतर समान है = समांतर श्रेणी है।
d. 2^2, 4^2, 6^2, 8^2, ...
- श्रेणी: 4, 16, 36, 64, \ldots
- अंतर:
  - 16 - 4 = 12
  - 36 - 16 = 20
  - 64 - 36 = 28
- विभिन्न अंतर = समांतर श्रेणी नहीं।

प्रश्‍न 5

समांतर श्रेढ़ी 1, 4, 7, 10, … के प्रथम 20 पदों का योगफल है

500

540

590

690

हल :

उत्तर: c. 590

समांतर श्रेड़ी 1, 4, 7, 10, \ldots का प्रथम पद a = 1 है और समान अंतर d = 3 है।

20 पदों के योगफल S_n का सूत्र निम्नलिखित है:

S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)

जहाँ: - n = 20 - a = 1 - d = 3

अब, सूत्र में मान डालते हैं:

S_{20} = \frac{20}{2} \left(2 \cdot 1 + (20-1) \cdot 3\right) = 10 \left(2 + 19 \cdot 3\right) = 10 \left(2 + 57\right) = 10 \cdot 59 = 590

इसलिए, प्रथम 20 पदों का योगफल 590 होगा।

प्रश्‍न 6

निम्नलिखित में किसका मान 1 के बराबर है?

sin² 60° + cos 60°

sin 90° × cos 90°

sin² 60°

sin 45° × \frac{1}{\text{cos 45}^\circ}

हल :

उत्तर: d. sin 45° × \frac{1}{\text{cos 45}^\circ}

चलिये प्रत्येक विकल्प का मान निकालते हैं और देखते हैं कि कौन सा 1 के बराबर है:

a. \sin^2 60^\circ + \cos 60^\circ
- \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
- \cos 60^\circ = \frac{1}{2}
- \sin^2 60^\circ = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{3}{4}
- तो, \sin^2 60^\circ + \cos 60^\circ = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4}
b. \sin 90^\circ \times \cos 90^\circ
- $^= 1)
- $^= 0)
- तो, \sin 90^\circ \times \cos 90^\circ = 1 \times 0 = 0
c. \sin^2 60^\circ
- पहले ही निकाला था: \sin^2 60^\circ = \frac{3}{4}
d. \sin 45^\circ \times \frac{1}{\cos 45^\circ}
- \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}
- \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}
- तो, \sin 45^\circ \times \frac{1}{\cos 45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 1

प्रश्‍न 7

cos² A(1 + tan² A) =

sin² A

cosec² A

1

tan² A

हल :

उत्तर: c. 1

हम समीकरण \cos^2 A (1 + \tan^2 A) का मान निकालते हैं।

समीकरण की जाँच

हम जानते हैं कि:

\tan^2 A = \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A}

इसलिये,

1 + \tan^2 A = 1 + \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} = \frac{\cos^2 A + \sin^2 A}{\cos^2 A}

चूंकि \cos^2 A + \sin^2 A = 1, इसलिए:

1 + \tan^2 A = \frac{1}{\cos^2 A}

अब, समीकरण को फिर से लिखते हैं:

\cos^2 A (1 + \tan^2 A) = \cos^2 A \times \frac{1}{\cos^2 A} = 1

निष्कर्ष

इसलिए, \cos^2 A (1 + \tan^2 A) = 1 है।

प्रश्‍न 8

tan 30° =

\sqrt{3}

\frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{1}{\sqrt{3}}

1

हल :

उत्तर: c. \frac{1}{\sqrt{3}}

\tan 30^\circ का मान ज्ञात करने के लिए, हम जानते हैं कि:

\tan 30^\circ = \frac{\text{पर्याप्त (opposite)}}{\text{आधार (adjacent)}}

मान:

\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}

प्रश्‍न 9

cos 60° =

\frac{1}{2}

\frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{1}{\sqrt{2}}

1

हल :

उत्तर: a. \frac{1}{2}

\cos 60^\circ का मान ज्ञात करने पर:

\cos 60^\circ = \frac{1}{2}

प्रश्‍न 10

sin² 90° − tan² 45° =

1

\frac{1}{2}

\frac{1}{\sqrt{2}}

0

हल :

d. 0

हम समीकरण \sin^2 90^\circ - \tan^2 45^\circ का मान निकालते हैं:

मान ज्ञात करें

\sin^2 90^\circ: \sin 90^\circ = 1 \Rightarrow \sin^2 90^\circ = 1^2 = 1
\tan^2 45^\circ: \tan 45^\circ = 1 \Rightarrow \tan^2 45^\circ = 1^2 = 1

समीकरण में मान डालें:

\sin^2 90^\circ - \tan^2 45^\circ = 1 - 1 = 0

प्रश्‍न 11

बिन्दु ( 8 sin 60°, 0) तथा ( 0, 8 cos 60°) के बीच की दुरी है

8

25

64

\frac{1}{8}

हल :

प्रश्‍न 12

यदि O(0, 0) मूल बिन्दु हो, तथा बिन्दु P के निर्देशांक ( x, y) हं तो दूरी OP है

\sqrt{x^2 - y^2}

\sqrt{x^2 + y^2}

x² − y²

इनमें से कोई नहीं

हल :

प्रश्‍न 13

y-अक्ष मे बिन्दु ( 12, 14 ) की दूरी है

12

14

13

15

हल :

प्रश्‍न 14

बिन्दु ( - 6, - 8 ) की कोटि है

− 6

− 8

6

8

हल :

प्रश्‍न 15

बिन्दु ( 3, - 4 ) किस पाद में स्थित है ?

प्रथम

द्वितीय

तृतीय

चतुर्थ

हल :

प्रश्‍न 16

निम्नलिखित मे कौन-सा बिन्दु द्वितीय चतुथाँश मे स्थित है ?

(3, 2)

(− 3, 2)

(3, − 2)

(− 3, − 2)

हल :

प्रश्‍न 17

बिन्दुओं ( 4, − 4) और ( − 4, 4 ) को मिलानेवाले रेखाखण्ड के मध्य बिन्दु के निर्देशांक हैं

(4, 4)

(0, 0)

(0, − 4)

(− 4, 0)

हल :

प्रश्‍न 18

रेखाखण्ड AB के मध्य बिन्दु (2, 4) है और बिन्दु A के नियामक ( 5, 7 ) हैं तो बिन्दु B के नियामक हैं

(2, − 2)

(− 2, − 2)

(1, − 1)

(− 1, 1)

हल :

प्रश्‍न 19

किसी वृत्त के व्याम के सिरों के निर्देशांक (10, −6) तथा (− 6, 10) है तो वृत्त के केन्द्र के निर्देशाक हैं

(− 2, − 2)

(2, 2)

(− 2, 2)

(2, − 2)

हल :

प्रश्‍न 20

यदि किसी त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक (4, 6), (0, 4) और (5, 5) हों तो त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक है

(5, 3)

(3, 4)

(4, 4)

(3, 5)

हल :

प्रश्‍न 21

sin(90° − A) =

sin A

cos A

tan A

sec A

हल :

प्रश्‍न 22

यदि α = β = 60° हो तो cos(α − β) का मान है

\frac{1}{2}

1

0

2

हल :

प्रश्‍न 23

यदि θ = 45° हो तो sin θ + cos θ का मान है

\frac{1}{\sqrt{2}}

\sqrt{2}

\frac{1}{2}

1

हल :

प्रश्‍न 24

यदि A = 30° हो तो \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A} हो

2 tan 30°

tan 60°

2 tan 60°

tan 30°

हल :

प्रश्‍न 25

यदि tan θ = \frac{12}{5} हो तो sin θ का मान है

\frac{5}{12}

\frac{12}{13}

\frac{5}{13}

\frac{12}{5}

हल :

प्रश्‍न 26

\frac{\cos 59^{\circ}}{\sin 31^{\circ}} \times \frac{\tan 80^{\circ}}{\cot 10^{\circ}}

\frac{1}{\sqrt{2}}

1

\frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{1}{2}

हल :

प्रश्‍न 27

यरि tan 25° × tan 65° = sin A हो तो A का मान है

25°

65°

90°

45°

हल :

प्रश्‍न 28

यदि cosθ = x तो tan θ =

\frac{\sqrt{1 + x^2}}{x}

\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}

\sqrt{1 - x^2}

\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}

हल :

प्रश्‍न 29

(1 − cos⁴ θ) =

cos² θ (1 − cos² θ)

sin² θ (1 + cos² θ)

sin² θ (1 − sin² θ)

sin² θ (1 + sin² θ)

हल :

प्रश्‍न 30

y-अक्ष पर स्थित किसी बिन्दु का रूप क्या है ?

(y, 0)

(2, y)

(0, x)

इनमें से कोई नहीं

हल :

प्रश्‍न 31

निम्नलिखित में से किस द्विघात बहुपद के शून्यक 3 एव − 10 है?

x² + 7x − 30

x² − 7x − 30

x² + 7x + 30

x² − 7x + 30

हल :

प्रश्‍न 32

यदि किसी द्विघात बहुपद के शून्यकों का योगफल 3 एवं उनके गुणनफल − 2 है, तो वह द्विघात बहुपद है

x² − 3x − 2

x² − 3x + 3

x² − 2x + 3

x² + 3x − 2

हल :

प्रश्‍न 33

यदि p(x) = x⁴ − 2x³ + 17x² − 4x + 30 को q(x) = x + 2 से भाग दिया जाता है, तो भागफल का घात है

6

3

4

5

हल :

प्रश्‍न 34

x + 2y + 3 = 0, 3x + 6y + 9 = 0 के कितने हल होगे?

एक हल

कोई हल नहीं

अनगिनत हल

इनमें से कोई नहीं

हल :

प्रश्‍न 35

दो रैखिक समीकरणों के लेखाचित्र यदि समांतर हों तो हलों की सख्या होगी

1

2

अनगिनत

इनमें से कोई नहीं

हल :

प्रश्‍न 36

रैखिक समीकरण युग्म 5x − 4y + 8 = 0 एवं 7x + 6y − 9 = 0 है

संगत

असंगत

आश्रित

इनमें से कोई नहीं

हल :

प्रश्‍न 37

यदि द्विघात समीकरण 3x² − 5x + 2 = 0 के मूल α एवं β हों तो α² + β² का मान है

\frac{13}{9}

\frac{9}{13}

\frac{5}{3}

\frac{3}{5}

हल :

प्रश्‍न 38

यदि द्विघात समीकरण 2x² − 7x − p = 0 का एक मूल 2 हो तो p का मान है

4

− 4

− 6

6

हल :

प्रश्‍न 39

यदि द्विघात समीकरण 2x² − x − 6 = 0 का एक मूल \frac{-3}{2} है तो इसका दूसरा मूल है

− 2

2

\frac{3}{2}

3

हल :

प्रश्‍न 40

द्विघात समीकरण 2x² − 6x + 3 = 0 के मूलों की प्रकृति क्या है?

वास्तविक एवं असमान

वास्तविक एवं समान

वास्तविक नहीं

इनमें से कोई नहीं

हल :

प्रश्‍न 41

यदि A(0, 1), B(0, 5) एवं C(3, 4) किसी &;ABC के शीर्ष हैं, तो Δ ABC का क्षेत्रफल (वर्ग इकाई में) है

16

12

6

4

हल :

प्रश्‍न 43

tan 10° . tan 23° . tan 80° . tan 67° =

0

1

\sqrt{3}

\frac{1}{\sqrt{3}}

हल :

प्रश्‍न 44

यदि दो समरूप त्रिभुजं के क्षेत्रफल का अनुपात 100 : 144 है, तो उनकी संगत भुजाओं का अनुपात है

10 : 8

12 : 10

10 : 12

10 : 13

हल :

प्रश्‍न 45

किमो वृत को हो अलग बिन्दुओं पर प्रतिच्छेदित करने वाली रेखा को कहते हैं

जीवा

छेदक रेखा

स्पर्श रेखा

इनमें से कोई नहीं

हल :

प्रश्‍न 46

दो समरूप त्रिभु्जो की संगत भुजाएँ 4 : 9 के अनुपात में है। त्रिभुज के क्षेत्रफलों का अनुपात कितना होगा ?

9 : 4

16 : 81

81 : 16

2 : 3

हल :

प्रश्‍न 47

▵ABC ~ ▵DEF तथां BC = 3 सेमी, EF = 4 सेमी हैं। यदि ▵ABC का क्षेत्रफल 54 सेमी² हो, तो ▵DEF का क्षेत्रफल है

56 सेमी²

96 सेमी²

196 सेमी²

49 सेमी²

हल :

प्रश्‍न 48

किसी त्रिभुज ABC में ∠A = 90°, BC = 13 सेमी, AB = 12 सेमी तो AC का मान है

3 सेमी

4 सेमी

5 सेमी

6 सेमी

हल :

प्रश्‍न 49

▵DEF तथा ▵POR में दिया है कि ∠D = ∠Q तथा ∠R = ∠E, तो निम्नलिखित म कौन-सा सही है ?

∠F = ∠P

∠F = ∠Q

∠D = ∠P

∠E = ∠P

हल :

प्रश्‍न 50

▵ABC एबं ▵DEF इस प्रकार हैं कि \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{DF} एवं ∠A = 40°, ∠B = 80° तो ∠F की माप है

30°

45°

60°

40°

हल :

प्रश्‍न 51

दो प्रतिच्छेदी वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या है

1

2

3

अनगिनत

हल :

प्रश्‍न 52

दो गोलों के आयतनों का अनुपात 64:125 है तो उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात है

25:8

25:16

16:25

इनमें से कोई नहीं

हल :

प्रश्‍न 53

दो बेलनों की त्रिज्याओं का अनुपात 4 : 5 है एवं उनकी ऊँचाइयों का अनुपात 6 : 7 हों, तो उनके आयतर्नो का अनुपात है

96 : 125

96 : 175

175 : 96

20 : 63

हल :

प्रश्‍न 54

R त्रिज्या वाले अर्द्धगोले का संपूर्ण पृष्ठ क्या है ?

πR²

2πR²

3πR²

4πR²

हल :

प्रश्‍न 55

यदि किसी शंकु के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल 880 सेमी² है और त्रिज्या 14 सेमी है तो इसकी तिर्यक ऊँचाई है

10 सेमी

20 सेमी

40 सेमी

30 सेमी

हल :

प्रश्‍न 56

यदि किसी घन के विकर्ण की लंबाई 2\sqrt{3} सेमी है तो इसके कोर की लम्बाई है

2 सेमी

2\sqrt{3} सेमी

3 सेमी

4 सेमी

हल :

प्रश्‍न 57

किसी घन का किनारा दुगुना हो जाने पर कुल पृष्ठ क्षेत्रफल पहले के कुल पृष्ठ क्षेत्रफल का कितना गुना हो जाएगा ?

दो गुना

चार गुना

छः गुना

बारह गुना

हल :

प्रश्‍न 58

किसी गोले के कुल पृष्ठ क्षेत्रफल और उसी त्रिज्या के एक अर्द्धगोले के कुल पृष्ठ क्षेत्रफल का अनुपात है

2 : 1

4 : 9

3 : 2

4 : 3

हल :

प्रश्‍न 59

यदि किसी अर्द्धगोले के बक पृष्ठीय क्षेत्रफल 1232 सेमी² है, तो उसकी त्रिलया है

7 सेमी

14 सेमी

21 सेमी

28 सेमी

हल :

प्रश्‍न 60

यदि cos θ + cos² θ = 1 तो sin² θ + sin⁴ θ का मान है

− 1

1

0

2

हल :

प्रश्‍न 61

\frac{1 + tan^2 A}{1 + cot^2 A} =

sec² A

− 1

cot² A

tan² A

हल :

प्रश्‍न 62

k के किस मान के लिए द्विघात समीकरण x² + 6x + k = 0 के मूल वास्तविक एवं समान होंगे?

6

8

9

10

हल :

प्रश्‍न 63

यदि बहुपद p(x) का एक शून्यक 2 हो, तो निम्नलिखित में कौन p(x) का एक गुणनखण्‍ड है?

x − 2

x + 2

x − 1

x + 1

हल :

प्रश्‍न 64

यदि बहुपद cx² + ax + b के शून्यक α और β हों, तो α • β का मान है।

\frac{a}{c}

\frac{-a}{c}

\frac{b}{c}

\frac{-b}{c}

हल :

प्रश्‍न 65

निम्नलिखित में से कौन द्विघात समीकरण है?

(x + 3)(x − 3) = x² − 4x³

(x + 3)² = 4(x + 4)

(2x − 2)² = 4x² + 7

4x + \frac{\text{1}}{\text{4x}} = 4x

हल :

प्रश्‍न 66

निम्नलिखित में से कौन द्विघात समीकरण नहीं है?

5x − x² = x² + 3

x³ − x² = (x − 1)³

(x + 3)² = 3(x² − 5)

(\sqrt{2}x + 3 )² = 2x² + 5

हल :

प्रश्‍न 67

द्विघात समीकरण 2x² − 7x + 6 = 0 का विवेचक है

1

− 1

27

37

हल :

प्रश्‍न 68

निम्नलिखित में कौन बिन्दु x = 2 के लेखाचित्र पर है?

(2, 0)

(2, 1)

(2, 2)

इनमें से सभी

हल :

प्रश्‍न 69

यदि P + 1, 2P + 1, 4P − 1 समांतर श्रेढ़ी में है तो P का मान है

1

2

3

4

हल :

प्रश्‍न 70

समांतर श्रेढ़ी 1, 5, 9, … का सार्व अंतर है

2

3

4

5

हल :

प्रश्‍न 71

समातर श्रेढ़ी 5, 8, 11, 14, … का कौन-सा पद 38 है?

10 वाँ

11 वाँ

12 वाँ

13 वाँ

हल :

प्रश्‍न 72

वर्ग अंतरालों 2 - 5, 5 - 8, 8 - 11, … के वगों की लंबाई है

2

3

4

3.5

हल :

प्रश्‍न 73

यदि चार लगातार विषम संख्याओं का माध्य 6 है, तो सबसे बड़ी संख्या है

4.5

9

21

15

हल :

प्रश्‍न 74

प्रथम 6 सम प्राकृत संख्याओं का माध्य है

4

6

7

इनमें से कोई नहीं

हल :

प्रश्‍न 75

1 + cot² θ=

sin² θ

cosec² θ

tan² θ

sec² θ

हल :

प्रश्‍न 76

8, 7, 9, 3, 9, 5, 4, 5, 7, 5 का बहुलक है

5

7

8

9

हल :

प्रश्‍न 77

यदि P(E) = 0.02 तो P(E’) बराबर है

0.02

0.002

0.98

0.97

हल :

प्रश्‍न 78

दो पासों को एक साथ फेंका जाता है। ऊपर आनेवाले अंको का अंतर शून्य होने की प्रायिकता क्या है ?

\frac{1}{36}

\frac{1}{6}

\frac{5}{18}

\frac{5}{36}

हल :

प्रश्‍न 79

दो सिक्कों की उछाल में दोनों पर शीर्ष आने की प्रायिकता है

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

\frac{1}{4}

1

हल :

प्रश्‍न 80

एक वर्ष में एक महीना यदृच्छया चुना जाता है। इसके जून या सितम्बर होने की प्रायिकता है

\frac{3}{4}

\frac{1}{12}

\frac{1}{6}

\frac{1}{4}

हल :

प्रश्‍न 81

एक पासे की फेंक में सख्या 4 या 5 आने की प्रायिकता है

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

\frac{1}{6}

\frac{2}{3}

हल :

प्रश्‍न 82

निम्नलिखित में कौन-सा भिन्‍न का दशमलव प्रसार सांत है?

\frac{14}{2^0 \times 3^2}

\frac{9}{5^1 \times 7^2}

\frac{8}{2^2 \times 3^2}

\frac{15}{2^2 \times 5^3}

हल :

प्रश्‍न 83

\frac{p}{2^n \times 5^m} के रूप में 0.505 को लिखा जा सकता है

\frac{101}{2^1 \times 5^2}

\frac{101}{2^1 \times 5^3}

\frac{101}{2^2 \times 5^2}

\frac{101}{2^3 \times 5^2}

हल :

प्रश्‍न 84

यदि भाग एल्गोरिथ्म a = bq + r में b = 4, q = 5 और r = 1 हो तो a का मान क्या है?

20

21

25

31

हल :

प्रश्‍न 85

बहुपद 2x² − 4x − 6 के शून्यक हैं

1, 3

− 1, 3

1, − 3

− 1, − 3

हल :

प्रश्‍न 86

बहुपद (x³ + x² + 2x + 1)(x² + 2x + 1) का घात है

3

4

5

6

हल :

प्रश्‍न 87

निम्नलिखित में कौन बहुपद नहीं है?

x² − 7

2x² + 7x + 6

\frac{1}{2}x² + \frac{1}{2}x + 4

x + \frac{4}{x}

हल :

प्रश्‍न 88

निम्नलिखित में किस द्विघात बहुपद के शून्यक 2 एवं − 2 हैं?

x² + 4

x² − 4

x² − 2x + 4

x² + \sqrt{8}

हल :

प्रश्‍न 89

यदि बहुपद t² + 7t + 10 के शून्यक α एवं β हो तो α + β का मान है।

7

10

− 7

− 10

हल :

प्रश्‍न 90

(sin 30° + cos 30°) − (sin 60° + cos 60°) =

− 1

0

1

2

हल :

प्रश्‍न 91

यदि द्विघात बहुपद (k − 1)x² + kx + 1 का एक शून्यक − 4 हो तो k का मान है

\frac{-5}{4}

\frac{5}{4}

\frac{-4}{3}

\frac{4}{3}

हल :

प्रश्‍न 92

किसी बाह्य बिन्दु P से वृत्त पर PA एवं PB दो स्पर्श रेखाएं खीची गई हैं। यदि PA = 8 सेमी तो PB =

6 सेमी

8 सेमी

12 सेमी

16 सेमी

हल :

प्रश्‍न 93

यदि PA एवं PB किसी बाह्य बिन्दु P से केन्द्र O वाले वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ है एब ∠APB = 80° तो ∠POA =

40°

50°

80°

60°

हल :

प्रश्‍न 93

वृत्त पर स्थित किसी बिन्दु पर खींची गई स्पर्श रेखा, स्पर्श बिन्दु से होकर जाने वाली त्रिज्या से कौन-सा कोण बनाती है?

30°

45°

60°

90°

हल :

प्रश्‍न 94

दो वृत्तों की त्रिज्याओं का अनुपात 3 : 4 है तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात है

3 : 4

4 : 3

9 : 16

16 : 9

हल :

प्रश्‍न 95

42 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के उस त्रिज्यखंड जिसका केन्द्रीय कोण 30° है, का क्षेत्रफल है

515 सेमी²

416 सेमी²

462 सेमी²

406 सेमी²

हल :

प्रश्‍न 96

दो वृत्तों की परिधियों का अनुपात 5 : 7 है तो उनकी त्रिज्या का अनुपात है

7 : 5

5 : 7

25 : 49

49 : 25

हल :

प्रश्‍न 97

7 sec² A − 7 tan² A =

49

7

14

0

हल :

प्रश्‍न 98

यदि x = a cos θ और y = b sin θ तो b²x² + a²y² =

a²b²

ab

a⁴b⁴

a² + b²

हल :

प्रश्‍न 99

एक मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण उसके पाद से 10 मी की दूरी पर 60° है, तो मीनार की ऊँचाई है

10 मी

10\sqrt{3} मी

15\sqrt{3} मी

20\sqrt{3} मी

हल :

प्रश्‍न 100

एक पतंग पृथ्वी से 30 मी की ऊँचाई पर है और इसकी डोर पृथ्वी से 60° का कोण बनाती है, तो डोर की लंबाई है

30\sqrt{2} मी

35\sqrt{3} मी

20\sqrt{3} मी

45\sqrt{2} मी

खण्ड - ब

लघु उत्तरीय प्रश्न

हल :

प्रश्‍न 1

AB ~ AC वाले एक समद्विबाह ABC की बढ़ाई गई भुजा CB-पर स्थित E एक बिन्दु है। यदि AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है, तो विद्ध कों कि ΔABD ~ ΔECF है।

हल :

प्रश्‍न 2

एक ΔABC की भुजाएँ AB और PR तथा माध्यिका AD एक अन्य ΔPQR की भुजाओं PQ और PR तथा PM क्रमश समानुपाती हैं तो सिद्ध ΔABC ~ ΔPQR.

हल :

प्रश्‍न 3

ΔABC तथा ΔDEF समरूप हैं तथा इनके क्षेत्रफल क्रमशः 9 सेमी² तथा 64 सेमी² हैं। यदि DE = 5.1 सेमी हो तो AB ज्ञात करें।

हल :

प्रश्‍न 4

सिद्ध करें कि \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta}} = \frac{1 + \cos\theta}{\sin \theta}

हल :

प्रश्‍न 5

सिद्ध करें कि tan 9° . tan 27° = cot 63° cot 81°

हल :

प्रश्‍न 6

यदि cos A = \frac{4}{5} हो तो cot A और cosec A के मान ज्ञात करें।

हल :

प्रश्‍न 7

यदि tan θ = \frac{5}{12} हो तो sin θ + cos θ का मान ज्ञात करें।

हल :

प्रश्‍न 8

यदि sin 3A = cos (A − 26°) हो जहाँ 3A एक न्यून कोण है तो A का मान ज्ञात कों।

हल :

प्रश्‍न 9

दो संख्याओं का योगफल 50 है एवं उसमें से एक संख्या दूसरी की \frac{7}{3} है, तो संख्याएँ ज्ञात करें ।

हल :

प्रश्‍न 10

x³ + 1 को x + 1 से भाग कीजिए।

हल :

प्रश्‍न 11

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कर 504 तथा 1188 का म.स. ज्ञात करें।

हल :

प्रश्‍न 12

द्विघात समीकरण 2x² + 5x − 3 = 0 के विवेचक ज्ञात करें और मूलों की प्रकृति भी ज्ञात करें।

हल :

प्रश्‍न 13

दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात करें जिनके वर्गाें का योग 365 हो।

हल :

प्रश्‍न 14

दो संख्याओं के वर्गों का अंतर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है। इस कथन के लिए समीकरण लिखें।

हल :

प्रश्‍न 15

किसी त्रिभुज PQR में दो बिन्दु S और T भुजाओं PQ तथा PR पर क्रमशः इस प्रकार है कि \frac{PS}{SQ} = \frac{PT}{TR} तथा ∠PST = ∠PRQ, तो सिद्ध करे कि ΔPQR एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

हल :

प्रश्‍न 16

यदि किसी शंकु के आधार की त्रिज्या 7 सेमी एवं इसकी ऊँचाई 24 सेमी है तो इसके वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

हल :

प्रश्‍न 17

एक घड़ी की मिनट की सूई की लंबाई 7 सेमी 2 है। 40 पिनर में इसके द्वारा तय किया गया क्षेत्रफल ज्ञात करें।

हल :

प्रश्‍न 18

सिद्ध करें कि tan 7° . tan 60° tan 83° = \sqrt{3}

हल :

प्रश्‍न 19

सिद्ध करें कि 5 − \sqrt{3} एक अपरिमेय संख्या है।

हल :

प्रश्‍न 20

k के किस मान के लिए बिन्दुएँ (1, 1), (3, k) और (− 1, 4) संरेखा है?

हल :

प्रश्‍न 22

y-अक्ष पर एक ऐसा बिन्दु ज्ञात करें जो बिन्दुओं (6, 5) और (− 4, 3 ) से समदूरस्थ हो।

हल :

प्रश्‍न 21

एक 7 पी लंबी सीढ़ी दीवार के साथ 30° का कोण बनाती है। दीवार पर उस बिन्दु की ऊँचाई ज्ञात करें जहाँ सीढ़ी दीवार को स्पर्श करती है।

हल :

प्रश्‍न 23

एक समांता चतुर्भुज ABCD की भुजा AD के बढ़े भाग पर E बिन्दु है एवं BE, CD को F पर प्रतिच्छेद करता है तो सिद्ध करें कि ΔABE ~ ΔCFB.

हल :

प्रश्‍न 24

ABC एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसका ∠C समकोण है। सिद्ध करें कि AB² = 2AC²

हल :

प्रश्‍न 25

उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात को जो बिन्दुओं ( − 1, 7 ) और (4, − 3 ) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2:3 के अनुपात में अंतः विभाजित करता है।

हल :

प्रश्‍न 26

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात को जिसके शोषो के निर्देशाक (−5, −1), (3, − 5) तथा (5, 2) है।

हल :

प्रश्‍न 27

किसी घन का विकर्णं 9\sqrt{3} सेमी है। धन का कुल पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात करें।

हल :

प्रश्‍न 28

द्विघात सूत्र का प्रयोग कर समीकरण 2x² − 2\sqrt{2}x + 1 = 0 के मूल ज्ञात करें।

हल :

प्रश्‍न 29

3 + 11 + 19 + … + 67 का योगफल ज्ञात कों।

हल :

प्रश्‍न 30

यदि किसी समांतर श्रेढ़ी का 5 वां एवं 9 वां पद क्रमश: 43 एवं 79 हैं तो समांतर श्रेढ़ी ज्ञात करें।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्‍न

हल :

समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression) का (n)-वां पद निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जाता है:

a_n = a + (n - 1)d

जहाँ (a) पहली पद (first term) है और (d) समांतर श्रेढ़ी का अंतर (common difference) है।

हमारे पास 5 वां पद और 9 वां पद हैं:

(a_5 = 43)
(a_9 = 79)

चरण 1: समीकरणों की स्थापना

a + 4d = 43 \quad \text{(1)} a + 8d = 79 \quad \text{(2)}

चरण 2: समीकरणों को घटाना

अब, (2) और (1) को घटाते हैं:

(a + 8d) - (a + 4d) = 79 - 43

यह हमें देता है:

4d = 36 d = 9

चरण 3: (d) का मान ज्ञात करना

अब (d) का मान ज्ञात करने के बाद, हम इसे समीकरण (1) में डालते हैं:

a + 4(9) = 43 a + 36 = 43 a = 43 - 36 = 7

चरण 4: समांतर श्रेढ़ी का निर्माण

अब हमें पहली पद (a = 7) और अंतर (d = 9) ज्ञात हो गया है। अब समांतर श्रेढ़ी के पहले कुछ पद ज्ञात करें:

पहला पद: (a = 7)
दूसरा पद: (a + d = 7 + 9 = 16)
तीसरा पद: (a + 2d = 7 + 18 = 25)
चौथा पद: (a + 3d = 7 + 27 = 34)
पाँचवा पद: (a + 4d = 7 + 36 = 43)
छठा पद: (a + 5d = 7 + 45 = 52)
सातवाँ पद: (a + 6d = 7 + 54 = 61)
आठवाँ पद: (a + 7d = 7 + 63 = 70)
नौवां पद: (a + 8d = 7 + 72 = 79)

निष्कर्ष

इस प्रकार, समांतर श्रेढ़ी निम्नलिखित होगी:

7, 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70, 79, \ldots

यह श्रेढ़ी (a = 7) और (d = 9) के साथ शुरू होती है।

प्रश्‍न 31

रैखिक समीकरण युग्म x + 3y − 6 = 0 तथा 2x − 3y − 12 = 0 का आलेख खींचें तथा हल करें।

हल :

प्रश्‍न 32

सिद्ध करें कि यदि किसी त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो और इन कोर्णों को अंतरित करने वाली भूजाएँ आनुपातिक हों तो त्रिभुज सपरूप होते हैं।

हल :

प्रश्‍न 33

दो अंकों की एक संख्या अपने अंकों के जोड़ की चार गुनी है एवं अपने अंकों के गुणनफल की दुगुनी है तो संख्या ज्ञात करें।

हल :

प्रश्‍न 34

7.6 सेमी लंबा एक रेखाखंड खींचें और इसे 5:8 के अनुपात में विभाजित करें। दोनों मापों को मापिए।

हल :

एक रेखाखंड को (7.6) सेमी लंबा खींचकर उसे (5:8) के अनुपात में विभाजित करने के लिए, निम्नलिखित चरणों का पालन करें:

1. कुल भाग ज्ञात करें

(5:8) के अनुपात में कुल भाग हैं: 5 + 8 = 13 \text{ भाग}

2. प्रत्येक भाग का माप ज्ञात करें

अब, रेखाखंड की कुल लंबाई को भागों में बाँटें: \text{एक भाग की लंबाई} = \frac{7.6 \text{ सेमी}}{13} \approx 0.5846 \text{ सेमी}

3. विभाजन पता करें

अब, (5) भाग और (8) भाग की लंबाई ज्ञात करें:

पहला भाग (5 भाग): 5 \times 0.5846 \approx 2.923 \text{ सेमी}
दूसरा भाग (8 भाग): 8 \times 0.5846 \approx 4.677 \text{ सेमी}

4. अंतिम माप

तो, रेखाखंड को (5:8) के अनुपात में विभाजित करने पर:

पहला माप: (2.92) सेमी
दूसरा माप: (4.68) सेमी

सारांश

रेखाखंड (7.6) सेमी को (5:8) के अनुपात में विभाजित करने पर, आप (2.92) सेमी और (4.68) सेमी मापते हैं।

प्रश्‍न 35

सिद्ध करें कि \frac{sec\theta - \tan \theta}{\sec \theta + \tan \theta} = 1 + 2 tan² θ − 2 sec θ tan θ

हल :

सिद्ध करने के लिए, हमें यह साबित करना है कि

\frac{\sec\theta - \tan\theta}{\sec\theta + \tan\theta} = 1 + 2\tan^2\theta - 2\sec\theta\tan\theta

बाईं ओर का समाधान:

\frac{\sec\theta - \tan\theta}{\sec\theta + \tan\theta}

हम () और () के लिए ज्ञात पहचानें का उपयोग करते हैं: \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} \quad \text{ और } \quad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

इसलिए:

\sec\theta - \tan\theta = \frac{1}{\cos\theta} - \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{1 - \sin\theta}{\cos\theta} \sec\theta + \tan\theta = \frac{1}{\cos\theta} + \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{1 + \sin\theta}{\cos\theta}

अब, बाईं ओर का भाग:

\frac{\sec\theta - \tan\theta}{\sec\theta + \tan\theta} = \frac{\frac{1 - \sin\theta}{\cos\theta}}{\frac{1 + \sin\theta}{\cos\theta}} = \frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}

दाईं ओर का समाधान:

अब, हमें साबित करना है:

1 + 2\tan^2\theta - 2\sec\theta\tan\theta

हम जानते हैं कि: \tan^2\theta = \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} \quad \text{ और } \quad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}

इसलिए:

-2\sec\theta\tan\theta = -2 \left(\frac{1}{\cos\theta}\right)\left(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\right) = -\frac{2\sin\theta}{\cos^2\theta}

दूसरी तरफ:

1 + 2\tan^2\theta = 1 + 2\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{\cos^2\theta + 2\sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1 + \sin^2\theta}{\cos^2\theta}

अब दाईं ओर बनेगा:

1 + 2\tan^2\theta - 2\sec\theta\tan\theta = \frac{1 + \sin^2\theta}{\cos^2\theta} - \frac{2\sin\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1 + \sin^2\theta - 2\sin\theta}{\cos^2\theta}

जिसको लिख सकते हैं:

= \frac{(1 - \sin\theta)^2}{\cos^2\theta}

निष्कर्ष:

अब, अब बाईं ओर में:

\frac{(1 - \sin\theta)}{(1 + \sin\theta)} = \frac{(1 - \sin\theta)^2}{\cos^2\theta}

इसलिए,

\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta} \text{ और } \left(1 + 2\tan^2\theta - 2\sec\theta\tan\theta\right) \text{ समान हैं।}

इस प्रकार, सिद्ध हो गया है कि

\frac{\sec\theta - \tan\theta}{\sec\theta + \tan\theta} = 1 + 2\tan^2\theta - 2\sec\theta\tan\theta.

प्रश्‍न 36

दो वृत्ता की त्रिज्याएँ क्रमशः 9 सेमी और 9 सेमी हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करें जिसकी परिधि इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर हो।

हल :

18 सेमी

दो वृत्त की त्रिज्याएँ r_1 = 9 सेमी और r_2 = 9 सेमी हैं।

चरण 1: परिधि की गणना

वृत्त की परिधि की गणना का सूत्र है:

P = 2 \pi r

पहले वृत्त की परिधि (P_1):

P_1 = 2 \pi r_1 = 2 \pi \times 9 = 18\pi \text{ सेमी}

दूसरे वृत्त की परिधि (P_2):

P_2 = 2 \pi r_2 = 2 \pi \times 9 = 18\pi \text{ सेमी}

चरण 2: दोनों वृत्तों की परिधियों का योग

P_{\text{total}} = P_1 + P_2 = 18\pi + 18\pi = 36\pi \text{ सेमी}

चरण 3: नए वृत्त की त्रिज्या की गणना

हम मान लेते हैं कि नए वृत्त की त्रिज्या r है। इसके परिधि की गणना P होगी जो कि:

P = 2 \pi r

अब, P_{\text{total}} के बराबर करने के लिए:

2 \pi r = 36\pi

चरण 4: r निकाले

r = \frac{36\pi}{2\pi} = \frac{36}{2} = 18 \text{ सेमी}

इसलिए, उस वृत्त की त्रिज्या 18 सेमी है।

प्रश्‍न 37

निम्नलिखित बंटन का माध्य ज्ञात करें

| वर्ग अंतराल | 11-13 | 13-15 | 15-17 | 17-19 | 19-21 | 21-23 | 23-25 |
| :---------: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
|  बारबारता   |   7   |   6   |   9   |  13   |  20   |   5   |   4   |

हल :

उत्तर : 16.4375

इस बंटन के माध्य ज्ञात करने के लिए हम निम्नलिखित चरणों का पालन करेंगे:

हर वर्ग अंतराल का मध्य बिंदु ज्ञात करें।
बारबारता के साथ मध्य बिंदुओं का गुणन करें।
सभी गुणन के योग को बारबारता के योग से भाग कर माध्य ज्ञात करें।

चरण 1: मध्य बिंदु की गणना

वर्ग अंतराल	मध्य बिंदु (Xi)
11-13	12
13-15	14
15-17	16
17-19	18
19-21	20
21-23	22
23-25	24

चरण 2: गुणन की गणना

अब बारबारता (fi) और मध्य बिंदु (Xi) के लिए गुणन का योग निकालें:

वर्ग अंतराल	बारबारता (fi)	मध्य बिंदु (Xi)	fi * Xi
11-13	7	12	84
13-15	6	14	84
15-17	9	16	144
17-19	13	18	234
19-21	20	20	400
21-23	5	22	110
23-25	4	24	96

गुणन का योग

सभी गुणन का योग: 84 + 84 + 144 + 234 + 400 + 110 + 96 = 1052

बारबारता का योग

बारबारता का योग: 7 + 6 + 9 + 13 + 20 + 5 + 4 = 64

चरण 3: माध्य की गणना

माध्य (Mean) का सूत्र है:

\text{माध्य} = \frac{\text{Σ (fi * Xi)}}{\text{Σ fi}} = \frac{1052}{64} \approx 16.4375

तो, इस बंटन का माध्य 16.44 (दो दशमलव स्थान तक) है।

प्रश्‍न 38

एक शंकु के छित्रक की तिर्यक ऊँचाई 4 सेमी है तथा इसके वृतीय सिरों के परिमाप (परिधियाँ) 18 सेमी और 6 सेमी हैं। इस छित्रक का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।