NCERT Exemplar Problems Class 9 Maths Chapter 1: संख्या पद्धतियाँ Solutions Guide

Table of Contents

1. संख्या पद्धतियाँ

(B) बहु विकल्पीय प्रश्‍न

प्रश्‍नावली 1.1

निम्नलिखित यें से प्रत्येक में सही उत्तर लिखिए -

प्रश्‍न 1

प्रत्येक परिमेय संख्या है:

1. एक प्राकृत संख्या
2. एक पूर्णांक
3. एक वास्तविक संख्या
4. एक पूर्ण संख्या

प्रश्‍न 2

दो परिमेय संख्याओं के बीच में:

1. कोई परिमेय संख्या नहीं होती
2. ठीक एक परिमेय संख्या होती है
3. अपरिमित रूप से अनेक परिमेय संख्याएँ होती हैं
4. केवल परिमेय संख्याएँ होती हैं तथा कोई अपरिमेय संख्या नहीं होती

प्रश्‍न 3

एक परिमेय संख्या का दशमलव निरूपण नहीं हो सकता:

1. सांत
2. असात
3. असांत आवर्ती
4. असांत अनावर्ती

प्रश्‍न 4

किन्हीं दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल होता है:

1. सदैव एक अपरिमेय संख्या
2. सदैव एक परिमेय संख्या
3. सदैव एक पूर्णांक
4. कभी परिमेय संख्या, कभी अपरिमेय संख्या

प्रश्‍न 5

संख्या \sqrt{2} का दशमलव प्रसार है:

1. एक परिमित दशमलव
2. 1.41421
3. असांत आवर्ती
4. असांत अनावर्ती

प्रश्‍न 6

निम्नलिखित में से कौन-सी एक अपरिमेय संख्या है?

1. \sqrt{\frac{4}{9}}
2. \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}
3. \sqrt{7}
4. \sqrt{81}

प्रश्‍न 7

निम्नलिखित में से कौन-सी एक अपरिमेय संख्या है?

1. 0.14
2. 0.14\overline{16}
3. 0.\overline{1416}
4. 0.4014001400014…

प्रश्‍न 8

\sqrt{2} और \sqrt{3} के बीच एक परिमेय संख्या है:

1. \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2}
2. \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{2}
3. 1.5
4. 1.8

प्रश्‍न 9

\frac{p}{q} के रूप में 1.999… का मान, जहाँ p और q पूर्णाक हैं तथा q ≠ 0 होगा:

1. \frac{19}{10}
2. \frac{1999}{1000}
3. 2
4. \frac{1}{9}

प्रश्‍न 10

2\sqrt{3} + \sqrt{3} बराबर है:

1. 2\sqrt{6}
2. 6
3. 3\sqrt{3}
4. 4\sqrt{6}

प्रश्‍न 11

\sqrt{10} × \sqrt{15} बराबर है:

1. 6\sqrt{5}
2. 5\sqrt{6}
3. \sqrt{25}
4. 10\sqrt{5}

प्रश्‍न 12

\frac{1}{\sqrt{7} - 2} के हर का परिमेयीकरण करने पर प्राप्त संख्या है

1. \frac{\sqrt{7} + 2}{3}
2. \frac{\sqrt{7} - 2}{3}
3. \frac{\sqrt{7} + 2}{5}
4. \frac{\sqrt{7} + 2}{45}

प्रश्‍न 13

\frac{1}{\sqrt{9} - \sqrt{8}} बराबर है:

1. \frac{1}{2}(3 − 2\sqrt{2})
2. \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}
3. 3 − 2\sqrt{2}
4. 3 + 2\sqrt{2}

प्रश्‍न 14

\frac{7}{3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}} के हर का परिमेयीकरण परिमेयीकरण करने पर, हमें प्राप्त हर है:

1. 13
2. 19
3. 5
4. 35

प्रश्‍न 15

\frac{\sqrt{32} + \sqrt{48}}{\sqrt{8} + \sqrt{12}} का मान बराबर है:

1. \sqrt{2}
2. 2
3. 4
4. 8

प्रश्‍न 16

यदि \sqrt{2} = 1.4142 है, तो \sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}} बराबर है:

1. 2.4142
2. 5.8282
3. 0.4142
4. 0.1718

प्रश्‍न 17

\sqrt[4]{\sqrt[3]{2^2}} बराबर है:

1. 2^{-\frac{1}{6}}
2. 2⁻⁶
3. 2^{\frac{1}{6}}
4. 2⁶

प्रश्‍न 18

गुणनफल \sqrt[3]{2} × \sqrt[4]{2} × \sqrt[12]{32} बराबर है:

1. \sqrt{2}
2. 2
3. \sqrt[12]{2}
4. \sqrt[12]{32}

प्रश्‍न 19

\sqrt[4]{(81)^{-2}} का मान है:

1. \frac{1}{9}
2. \frac{1}{3}
3. 9
4. \frac{1}{81}

प्रश्‍न 20

(256)^0.16 × (256)^0.09 का मान है:

1. 4
2. 16
3. 64
4. 256.25

प्रश्‍न 21

निम्नलिखित में से कौन x के बराबर है?

1. x^{\frac{12}{7}} − x^{\frac{5}{7}}
2. \sqrt[12]{(x^4)^{\frac{1}{3}}}
3. (\sqrt{x^3})^{\frac{2}{3}}
4. x^{\frac{12}{7}} × x^{\frac{7}{12}}

(C) तर्क के साथ संक्षिप्त उत्तरीय प्रशन

1. क्या ऐसी दो अपरिमेय संख्याएँ हैं जिनका योग और गुणनफल दोनों ही परिमेय संख्याएँ हैं? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
2. बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य: एक संख्या x ऐसी है कि x² अपरिमेय है परंतु x⁴ परिमेय है। एक उदाहरण की सहायता से अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।

प्रश्‍नावली 1.2

1. मान लीजिए कि x और y क्रमशः परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ हैं। क्या x + y आवश्यक रूप से एक अपरिमेय संख्या है? अपने उत्तर की पुष्टि के लिए एक उदाहरण दीजिए।
2. मान लीजिए कि x एक परिमेय संख्या है और y एक अपरिमेय संख्या है। क्या ५) आवश्यक रूप से एक अपरिमेय संख्या है? एक उदाहरण द्वारा अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
3. बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
   1. \frac{\sqrt{2}}{3} एक परिमेय संख्या है।
   2. किन्हीं दो पूर्णाकों के बीच अपरिमित रूप से अनेक पूर्णाक हैं।
   3. 15 और 18 के बीच में परिमेय संख्याओं की संख्या परिमित है।
   4. कुछ संख्याएँ ऐसी हैं कि जिन्हें \frac{p}{q}, q ≠ 0 के रूप में नहीं लिखा जा सकता, जहाँ p और q दोनों पूर्णाक हैं।
   5. एक अपरिमेय संख्या का वर्ग सदैव एक परिमेय संख्या होती है।
   6. \frac{12}{3} एक परिमेय संख्या नहीं है, क्योंकि \sqrt{12} और \sqrt{3} पूर्णांक नहीं हैं।
   7. \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}}, \frac{p}{q}, q ≠ 0 के रूप में लिखी है, इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
4. औचित्य देते हुए, निम्नलिखित को परिमेय या अपरिमेय संख्याओं के रूप में वर्गीकृत कीजिए:
   1. \sqrt{196}
   2. 3\sqrt{18}
   3. \sqrt{\frac{9}{27}}
   4. \frac{\sqrt{28}}{343}
   5. −\sqrt{0.4}
   6. \frac{\sqrt{12}}{75}
   7. 0.5918
   8. (1 + \sqrt{5}) − (4 + \sqrt{5})
   9. 10.124124…
   10. 1.010010001…

(D) संक्षिप्त उत्तरीय प्रशन

1. संख्या रेखा पर \sqrt{13} निर्धारित कोजिए।
2. 0.12\overline{3} को \frac{p}{q} के रूप में व्यक्त कोजिए, जहाँ p और q पर्णांक है हैं तथा q ≠ 0 है।
3. सरल कोजिए: (3\sqrt{5} − 5\sqrt{2})(4\sqrt{5} + 3\sqrt{2})
4. निम्नलिखित में a का मान ज्ञात कीजिए: \frac{6}{3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}} = 3\sqrt{2} − a\sqrt{3}
5. सरल कीजिए: \Bigg[5\Big(8^{\frac{1}{3}} + 27^{\frac{1}{3}}\Big)^3\Bigg]^{\frac{1}{4}}

प्रश्‍नावली 1.3

1. ज्ञात कीजिए कि कौन से चर x, y, z और u परिमेय संख्याएँ निरूपित करते हैं तथा कौन से चर अपरिमेय संख्याएँ निरूपित करते हैं:
   1. x² = 5
   2. y² = 9
   3. z² = .04
   4. u² = \frac{17}{4}
2. निम्नलिखित के बीच में तीन परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए:
   1. −1 और −2
   2. 0.1 और 0.11
   3. \frac{5}{7} और \frac{6}{7}
   4. \frac{1}{4} और \frac{1}{5}
3. निम्नलिखित के बीच में एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या प्रविष्ट कोजिए:
   1. 2 और 3
   2. 0 और 0.1
   3. \frac{1}{3} और \frac{1}{2}
   4. \frac{-2}{5} और \frac{1}{2}
   5. 0.15 और 0.16
   6. \sqrt{2} और \sqrt{3}
   7. 2.357 और 3.121
   8. .0001 और .001
   9. 3.623623 और 0.484848
   10. 6.375289 और 6.375738
4. निम्नलिखित संख्याओं को संख्या रेखा पर निरूपित कीजिए: 7, 7.2, \frac{-3}{2}, \frac{-12}{5}
5. संख्या रेखा पर √5, √10 और √17 को निर्धारित कीजिए।
6. संख्या रेखा पर निम्नलिखित संख्याओं को ज्यामितीय रूप से निरूपित कीजिए:
   1. \sqrt{4.5}
   2. \sqrt{5.6}
   3. \sqrt{8.1}
   4. \sqrt{2.5}
7. निम्नलिखित को \frac{p}{q} के रूप में व्यक्‍त कीजिए, जहाँ p और q पूर्णाक हैं तथा q ≠ 0है:
   1. 0.2
   2. 0.888…
   3. 5.\overline{2}
   4. 0.\overline{001}
   5. 0.2555…
   6. 0.1\overline{34}
   7. 00323232…
   8. .404040…
8. दर्शाइए कि 0.142857142857… = \frac{1}{7} है।
9. निम्नलिखित को सरल कीजिए:
   1. \sqrt{45} − 3\sqrt{20} + 4\sqrt{5}
   2. \frac{\sqrt{24}}{8} + \frac{\sqrt{54}}{9}
   3. 4\sqrt{12} × 7\sqrt{6}
   4. 4\sqrt{28} ÷ 3\sqrt{7}
   5. 3\sqrt{3} + 2\sqrt{27} + \frac{7}{\sqrt{3}}
   6. (\sqrt{3} − \sqrt{2})²
   7. \sqrt[4]{81} − 8\sqrt[3]{216} + 15\sqrt[5]{32} + \sqrt{225}
   8. \frac{3}{\sqrt{8}} + \frac{1}{\sqrt{2}}
   9. \frac{2\sqrt{3}}{3} − \frac{\sqrt{3}}{6}
10. निम्नलिखित के हर का परिमेयीकरण कोजिए:
    1. \frac{2}{3\sqrt{3}}
    2. \frac{\sqrt{40}}{\sqrt{3}}
    3. \frac{3 + \sqrt{2}}{4\sqrt{2}}
    4. \frac{16}{\sqrt{41} - 5}
    5. \frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}
    6. \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}
    7. \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}
    8. \frac{3\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}
    9. \frac{4\sqrt{3} + 5\sqrt{2}}{\sqrt{48} + \sqrt{18}}
11. निम्नलिखित में से प्रत्येक में a और b के मान ज्ञात कीजिए:
    1. \frac{5 + 2\sqrt{3}}{7 + 4\sqrt{3}} = a − 6\sqrt{3}
    2. \frac{3 - \sqrt{5}}{3 + 2\sqrt{5}} = a\sqrt{5} − \frac{19}{11}
    3. \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{3\sqrt{2} - \sqrt{2}\sqrt{3}} = 2 − b\sqrt{6}
    4. \frac{7 + \sqrt{5}}{7 + \sqrt{5}} − \frac{7 - \sqrt{5}}{7 + \sqrt{5}} = a + \frac{7}{11}\sqrt{5}b
12. यदि a = 2 + \sqrt{3} है, तो a − \frac{1}{a} मान ज्ञात कीजिए।
13. निम्नलिखित में से प्रत्येक में हर का परिमेयीकरण कोजिए और फिर \sqrt{2} = 1.414, \sqrt{3} = 1.732 और \sqrt{5} = 2.236 लेते हुए, तीन दशमलव स्थानों तक प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए।
    1. \frac{4}{\sqrt{3}}
    2. \frac{6}{\sqrt{6}}
    3. \frac{\sqrt{10} - \sqrt{5}}{2}
    4. \frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}
    5. \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}
14. सरल कीजिए:
    1. \Big(1^3 + 2^3 + 3^3\Big)^{\frac{1}{2}}
    2. \Big(\frac{3}{5}\Big)^{4} + \Big(\frac{8}{5}\Big)^{-12} + \Big(\frac{32}{5}\Big)^{-6}
    3. \Big(\frac{1}{27}\Big)^{\frac{-2}{3}}
    4. \Bigg[\bigg\lbrace\Big(625\Big)^{-\frac{1}{2}}\bigg\rbrace^{-\frac{1}{4}}\Bigg]^2
    5. \frac{9^{\frac{1}{3}} \times 27^{-\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{6}} \times 3^{-\frac{2}{3}}}
    6. 64^{-\frac{1}{3}}64^{\frac{1}{3}}- 64^{\frac{2}{3}}
    7. \frac{8^{\frac{1}{3}} \times 16^{\frac{1}{3}}}{32^{-\frac{1}{3}}}

(E) दीर्घ उत्तरीय प्रशन

1. यदि a = 5 + 2\sqrt{6} और b = \frac{1}{a} है, तो a² + b² का मान क्या होगा?

प्रश्‍नावली 1.4

1. 0.6 + 0.\overline{7} + 0.4\overline{7} को \frac{p}{q} के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा p ≠ 0 है।
2. सरल कीजिए: \frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{10} + \sqrt{3}} − \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} − \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{15} + 3\sqrt{2}}
3. यदि √2 == 1.414, √3 == 1.732 हो, \frac{4}{3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}} + \frac{3}{3\sqrt{3} + 2\sqrt{2}} तो का मान ज्ञात किजिए।
4. यदि a = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} है, तो a² + \frac{1}{a^2} का मान ज्ञात कोजिए।
5. यदि x = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} और y = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} है, तो x² + y² का मान ज्ञात कीजिए।
6. सरल कीजिए: (256)^{-(4^{\frac{-3}{2}})}
7. \frac{4}{(216)^{-\frac{2}{3}}} + \frac{1}{(256)^{-\frac{3}{4}}} + \frac{2}{(243)^{-\frac{1}{5}}} का मान ज्ञात कोजिए।