NCERT Class 11 Math Chapter 4 Solutions: गणितीय आगमन का सिद्धांत

अध्याय - 4
गणितीय आगमन का सिद्धांत (Principle of Mathematical Induction)

TABLE OF CONTENTS

प्रश्‍नावली 4.1

सभी n ∈ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:

प्रश्‍न 1

1 + 3 + 3² + … + 3ⁿ⁻¹ = $\frac{(3^{n} - 1)}{2}$

हल :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) = 1 + 3 + 3² + … + 3ⁿ⁻¹ = $\frac{(3^{n} - 1)}{2}$

∴ n = 1 के लिए

L.H.S. = 1

R.H.S. = $\frac{3^{1} - 1}{2}$ = 1

LHS = RHS

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।

P(k) = 1 + 3 + 3² + … + 3^k-1 = $\frac{(3^{k} - 1)}{2}$ … (i)

अब,

= (1 + 3 + 3² + … + 3^k-1) + 3^k

= $\frac{(3^{k} - 1)}{2}$ + 3^k … [eq(i) से]

= $\frac{3^{k} - 1 + 2 \cdot 3^{k}}{2}$

= $\frac{3^{(k + 1)} - 1}{2}$

P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

प्रश्‍न 2

1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = ${(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2}$

हल :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) = 1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = ${(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2}$

∴ n = 1 के लिए

L.H.S. = 1³ = 1

R.H.S. = $\frac{(3^{1} - 1)}{2} = \frac{2}{2}$ = 1

LHS = RHS

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।

P(k) = 1³ + 2³ + 3³ + … + k³ = ${(\frac{k (k + 1)}{2})}^{2}$ … (i)

अब,

= 1³ + 2³ + 3³ + … + k³ + (k + 1)³

= (1³ + 2³ + 3³ + … + k³) + (k + 1)³

= ${(\frac{k (k + 1)}{2})}^{2}$ + (k + 1)³ [eq(i) से]

= (k + 1)² ⋅ $\frac{k^{2} + 4 (k + 1)}{4}$

= $\frac{(k + 1)^{2} (k + 2)^{2}}{4}$

= ${(\frac{(k + 1) [(k + 1) + 1]}{2})}^{2}$

P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

प्रश्‍न 3

1 + \frac{1}{(1 + 2)} + \frac{1}{(1 + 2 + 3)} + \dots + \frac{1}{(1 + 2 + 3 + \dots n)} = \frac{2 n}{(n + 1)}

हल :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P (n) = 1 + \frac{1}{(1 + 2)} + \frac{1}{(1 + 2 + 3)} + \dots + \frac{1}{(1 + 2 + 3 + \dots n)} = \frac{2 n}{(n + 1)}

∴ n = 1 के लिए

L.H.S. = 1

R.H.S. = $\frac{2 \times 1}{1 + 1}$ = 1

LHS = RHS

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P (k) = 1 + \frac{1}{(1 + 2)} + \frac{1}{(1 + 2 + 3)} + \dots + \frac{1}{(1 + 2 + 3 + \dots k)} = \frac{2 k}{(k + 1)} . . . (i)

अब,

\begin{aligned} = [1 + \frac{1}{(1 + 2)} + \frac{1}{(1 + 2 + 3)} + \dots + \frac{1}{(1 + 2 + 3 + \dots k)}] + \frac{1}{(1 + 2 + 3 + \dots k + (k + 1))} \\ = \frac{2 k}{(k + 1)} + \frac{1}{(1 + 2 + 3 + \dots k) + (k + 1)} [eq(i) से] \\ [∴ 1 + 2 + 3 + . . + n = \frac{n (n + 1)}{2} रखने पर] \\ = \frac{2 k}{(k + 1)} + \frac{1}{\frac{k (k + 1)}{2} + (k + 1)} \\ = \frac{2 k}{(k + 1)} + \frac{2}{(k + 1) (k + 2)} \\ = \frac{2}{(k + 1)} [\frac{k^{2} + 2 k + 1}{k + 2}] \\ = \frac{2 {(k + 1)}^{2}}{(k + 1) (k + 2)} \\ = \frac{2 (k + 1)}{(k + 2)} \\ = \frac{2 (k + 1)}{(k + 1) + 1} \end{aligned}

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

प्रश्‍न 4

1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \dots + n (n + 1) (n + 2) = \frac{n (n + 1) (n + 2) (n + 3)}{4}

हल :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P (n) = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \dots + n (n + 1) (n + 2) = \frac{n (n + 1) (+ 2) (n + 3)}{4}

∴ n = 1

L.H.S. = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6

R.H.S. = $\frac{1 (1 + 1) (1 + 2) (1 + 3)}{4}$ = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6

LHS = RHS

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P (k) = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \dots + k (k + 1) (k + 2) = \frac{n (n + 1) (n + 2) (n + 3)}{4}

अब,

\begin{aligned} = (1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \dots + k (k + 1) (k + 2)) + (k + 1) (k + 2) (k + 3) \\ = \frac{k (k + 1) (k + 2) (k + 3)}{4} + (k + 1) (k + 2) (k + 3) [eq(i) से] \\ = (k + 1) (k + 2) (k + 3) (\frac{k + 4}{4}) \\ = \frac{(k + 1) (k + 2) (k + 3) (k + 4)}{4} \\ = \frac{(k + 1) [(k + 1) + 1] [(k + 1) + 2] [(k + 1) + 3]}{4} \end{aligned}

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

प्रश्‍न 5

1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3² + 3 ⋅ 3³ + … + n ⋅ 3ⁿ = $\frac{(2 n - 1) 3^{n + 1} + 3}{4}$

हल :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) = 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3² + 3 ⋅ 3³ + … + n ⋅ 3ⁿ = $\frac{(2 n - 1) 3^{n + 1} + 3}{4}$

∴ n = 1 के लिए

L.H.S. = 1 ⋅ 3 = 3

R.H.S. = $\frac{(2 \times 1 - 1) \times 3^{1 + 1} + 3}{4} = \frac{12}{4}$ = 3

LHS = RHS

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(k) = 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3² + 3 ⋅ 3³ + … + k ⋅ 3^k = $\frac{(2 k - 1) 3^{k + 1} + 3}{4}$

अब,

\begin{aligned} = [1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3^{3} + \dots + k \cdot 3^{k}] + (k + 1) \cdot 3^{k + 1} \\ = \frac{(2 k - 1) 3^{k + 1} + 3}{4} + (k + 1) \cdot 3^{k + 1} [eq(i) से] \\ = \frac{(2 k - 1) 3^{k + 1} + 4 (k + 1) \cdot 3^{k + 1} + 3}{4} \\ = \frac{3^{k + 1} (2 k - 1 + 4 k + 4) + 3}{4} \\ = \frac{(6 k + 3) 3^{k + 1} + 3}{4} \\ = \frac{3 (2 k + 1) 3^{k + 1} + 3}{4} \\ = \frac{(2 (k + 1) - 1) 3^{(k + 1) + 1} + 3}{4} \end{aligned}

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

प्रश्‍न 6

1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + … + n(n+1) = $[\frac{n (n + 1) (n + 2)}{3}]$

हल :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + … + n(n + 1) = $[\frac{n (n + 1) (n + 2)}{3}]$

∴ n = 1

L.H.S. = 1 ⋅ 2 = 2

R.H.S. = $\frac{1 \times (1 + 1) (1 + 2)}{3} = \frac{6}{3}$ = 2

LHS = RHS

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(k) = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + … + k(k + 1) = $[\frac{k (k + 1) (k + 2)}{3}]$

अब,

\begin{aligned} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + (k + 1) [(k + 1) + 1] \\ = [1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + k (k + 1)] + (k + 1) [(k + 1) + 1] \\ = [\frac{k (k + 1) (k + 2)}{3}] + (k + 1) (k + 2) [eq(i) से] \\ = (k + 1) (k + 2) [\frac{k}{3} + 1] \\ = (k + 1) (k + 2) [\frac{k + 3}{3}] \\ = \frac{(k + 1) (k + 2) (k + 3)}{3} \\ = \frac{(k + 1) [(k + 1) + 1] [(k + 1) = 2]}{3} \end{aligned}

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

प्रश्‍न 7

1 ⋅ 3 + 3 ⋅ 5 + 5 ⋅ 7 + … + (2n - 1)(2n + 1) = $\frac{n (4 n^{2} + 6 n - 1)}{3}$

हल :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) = 1⋅3 + 3⋅5 + 5⋅7 + … + (2n - 1)(2n + 1) = $\frac{n (4 n^{2} + 6 n - 1)}{3}$

∴ n = 1

L.H.S. = 1 ⋅ 3 = 3

R.H.S. = $\frac{1 \times (4 \times 1^{2} + 6 \times 1 - 1)}{3} = \frac{4 + 6 - 1}{3} = \frac{9}{3}$

LHS = RHS

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(n) = 1 ⋅ 3 + 3 ⋅ 5 + 5 ⋅ 7 + … + (2k - 1)(2k + 1) = $\frac{k (4 k^{2} + 6 k - 1)}{3}$

अब,

\begin{aligned} = [1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + k (k + 1)] + (k + 1) [(k + 1) + 1] \\ = [\frac{k (k + 1) (k + 2)}{3}] + (k + 1) (k + 2) [eq(i) से] \\ = (k + 1) (k + 2) [\frac{k}{3} + 1] \\ = (k + 1) (k + 2) [\frac{k + 3}{3}] \\ = \frac{(k + 1) (k + 2) (k + 3)}{3} \\ = \frac{(k + 1) [(k + 1) + 1] [(k + 1) + 2]}{3} \end{aligned}

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

प्रश्‍न 8

1.2 + 2.2² + 3.2² + … + n.2ⁿ = (n - 1)2ⁿ⁺¹ + 2

हल :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) = 1.2 + 2.2² + 3.2² + … + n.2ⁿ = (n - 1)2^{n + 1} + 2

∴ n = 1

L.H.S. = 1.2 = 2

R.H.S. = (1 - 1)2^{1 + 1} + 2 = 0 + 2 = 2

LHS = RHS

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(k) = 1.2 + 2.2² + 3.2² + … + k.2^k = (k - 1)2^{k + 1} + 2

अब,

\begin{aligned} = [1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3^{3} + \dots + k \cdot 3^{k}] + (k + 1) \cdot 3^{k + 1} \\ = \frac{(2 k - 1) 3^{k + 1} + 3}{4} + (k + 1) \cdot 3^{k + 1} [eq(i) से] \\ = \frac{(2 k - 1) 3^{k + 1} + 3 + 4 (k + 1) \cdot 3^{k + 1}}{4} \\ = \frac{(2 k - 1) 3^{k + 1} + 4 (k + 1) \cdot 3^{k + 1} + 3}{4} \\ = \frac{3^{k + 1} ((2 k - 1) + 4 (k + 1)) + 3}{4} \\ = \frac{3^{k + 1} (2 k - 1 + 4 k + 4) + 3}{4} \\ = \frac{(6 k + 3) 3^{k + 1} + 3}{4} \\ = \frac{3 (2 k + 1) 3^{k + 1} + 3}{4} \\ = \frac{(2 k + 1) 3^{(k + 1) + 1} + 3}{4} \\ = \frac{(2 (k + 1) - 1) 3^{(k + 1) + 1} + 3}{4} \end{aligned}

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

प्रश्‍न 9

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{2^{n}} = 1 - \frac{1}{2^{n}}$

हल :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P (n) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{2^{n}} = 1 - \frac{1}{2^{n}}

∴ n = 1

L.H.S. = $\frac{1}{2}$

R.H.S. = $1 - \frac{1}{2^{1}} = \frac{1}{2}$

L.H.S. = R.H.S. सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P (k) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{2^{k}} = 1 - \frac{1}{2^{k}} . . . . (i)

अब,

\begin{aligned} = [\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{2^{k}}] + \frac{1}{2^{k + 1}} \\ = 1 - \frac{1}{2^{k}} + \frac{1}{2^{k + 1}} [eq(i) से] \\ = 1 - \frac{1}{2^{k}} [1 - \frac{1}{2}] \\ = 1 - \frac{1}{2^{k + 1}} \end{aligned}

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

प्रश्‍न 10

\frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \dots + \frac{1}{(3 n - 1) (3 n + 2)} = \frac{n}{(6 n + 4)}

हल :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

∴ n = 1

L.H.S. = $\frac{1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10}$

R.H.S. = $\frac{1}{(6 \times 1 + 4)} = \frac{1}{10}$

LHS = RHS

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P (k) = \frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \dots + \frac{1}{(3 k - 1) (3 k + 2)} = \frac{k}{(6 k + 4)} . . . . (i)

अब,

\begin{aligned} = \frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \dots + \frac{1}{(3 k - 1) (3 k + 2)} + \frac{1}{(3 k + 3 - 1) (3 k + 3 + 2)} \\ = \frac{k}{(6 k + 4)} + \frac{1}{(3 k + 2) (3 k + 5)} [eq(i) से] \\ = \frac{1}{(3 k + 2)} [\frac{k}{2} + \frac{1}{(3 k + 5)}] \\ = \frac{k (3 k + 5) + 2}{2 (3 k + 2) (3 k + 5)} \\ = \frac{3 k^{2} + 5 k + 2}{2 (3 k + 2) (3 k + 5)} \\ = \frac{3 k^{2} + 3 k + 2 k + 2}{2 (3 k + 2) (3 k + 5)} \\ = \frac{3 k (k + 1) + 2 (k + 1)}{2 (3 k + 2) (3 k + 5)} \\ = \frac{(k + 1)}{2 (3 k + 5)} \\ = \frac{(k + 1)}{(6 (k + 1) + 4)} \end{aligned}

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

प्रश्‍न 11

\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{n (n + 1) (n + 2)} = \frac{n (n + 3)}{4 (n + 1) (n + 2)}

हल :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P (n) = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{n (n + 1) (n + 2)} = \frac{n (n + 3)}{4 (n + 1) (n + 2)}

∴ n = 1

L.H.S. = $\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$

R.H.S. = $\frac{1 \times (1 + 3)}{4 (1 + 1) (1 + 2)} = \frac{1}{6}$

LHS = RHS

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P (k) = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{k (k + 1) (k + 2)} = \frac{k (k + 3)}{4 (k + 1) (k + 2)} . . . . (i)

अब,

\begin{aligned} = [\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{k (k + 1) (k + 2)}] + \frac{1}{(k + 1) {(k + 1) + 1} {(k + 1) + 2}} \\ = [\frac{k (k + 3)}{4 (k + 1) (k + 2)}] + \frac{1}{(k + 1) (k + 2) (k + 3)} [eq(i) से] \\ = \frac{1}{(k + 1) (k + 2)} [\frac{k (k^{2} + 6 k + 9) + 4}{4 (k + 3)}] \\ = \frac{k^{3} + 6 k^{2} + 9 k + 4}{4 (k + 1) (k + 2) (k + 3)} \\ = \frac{k^{3} + 5 k^{2} + 4 k + k^{2} + 5 k + 4}{4 (k + 1) (k + 2) (k + 3)} \\ = \frac{(k + 1) (k^{2} + 5 k + 4)}{4 (k + 1) (k + 2) (k + 3)} \\ = \frac{(k + 1) [(k + 1) (k + 4) + (k + 4)]}{4 (k + 1) (k + 2) (k + 3)} \\ = \frac{(k + 1) (k + 4)}{4 (k + 2) (k + 3)} \\ = \frac{(k + 1) [(k + 1) + 3]}{4 [(k + 1) + 1] [(k + 1) + 2]} \end{aligned}

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

प्रश्‍न 12

a + ar + ar² + … + ar^{n - 1} = $\frac{a (r^{n} - 1)}{r - 1}$

हल :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) = a + ar + ar² + … + ar^{n - 1} = $\frac{a (r^{n} - 1)}{r - 1}$

∴ n = 1

L.H.S. = a

R.H.S. = $\frac{a (r^{1} - 1)}{r - 1} = a$

LHS = RHS

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(k) = a + ar + ar² + … + ar^{k - 1} = $\frac{a (r^{n} - 1)}{r - 1}$ … (i)

अब,

\begin{aligned} = [a + a r + a r^{2} + \dots + a r^{k - 1}] + a r^{k} \\ = [\frac{a (r^{k} - 1)}{r - 1}] + a r^{k} [eq(i) से] \\ = a [\frac{r^{k} - 1 + r^{k} (r - 1)}{r - 1}] \\ = a [\frac{r^{k} [1 + (r - 1)] - 1}{r - 1}] \\ = a [\frac{r^{k} \cdot r - 1}{r - 1}] \\ = a [\frac{r^{k + 1} - 1}{r - 1}] \\ = \frac{a (r^{k + 1} - 1)}{r - 1} \end{aligned}

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

प्रश्‍न 13

(1 + \frac{3}{1}) (1 + \frac{5}{4}) (1 + \frac{7}{9}) + \dots + (1 + \frac{(2 n + 1)}{n^{2}}) = {(n + 1)}^{2}

हल :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P (n) = (1 + \frac{3}{1}) (1 + \frac{5}{4}) (1 + \frac{7}{9}) + \dots + (1 + \frac{(2 n + 1)}{n^{2}}) = {(n + 1)}^{2}

∴ n = 1

L.H.S. = 1 + 3/1 = 1 + 3 = 4

R.H.S. = (1 + 1)² = 2² = 4

LHS = RHS

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P (k) = (1 + \frac{3}{1}) (1 + \frac{5}{4}) (1 + \frac{7}{9}) + \dots + (1 + \frac{(2 k + 1)}{k^{2}}) = {(k + 1)}^{2} . . . . (i)

अब,

\begin{aligned} = [(1 + \frac{3}{1}) (1 + \frac{5}{4}) (1 + \frac{7}{9}) + \dots (1 + \frac{(2 k + 1)}{k^{2}})] (1 + \frac{2 (k + 1) + 1}{(k + 1)^{2}}) \\ = [(1 + \frac{3}{1}) (1 + \frac{5}{4}) (1 + \frac{7}{9}) + \dots (1 + \frac{(2 k + 1)}{k^{2}})] (1 + \frac{2 k + 2 + 1}{(k + 1)^{2}}) \dots [eq(i) से] \\ = {(k + 1)}^{2} + (1 + \frac{2 k + 3}{(k + 1)^{2}}) \\ = (k + 1)^{2} + 2 k + 3 \\ = k^{2} + 2 k + 1 + 2 k + 3 \\ = k^{2} + 4 k + 4 \\ = k^{2} + 2 \cdot k \cdot 2 + 2^{2} \\ = (k + 2)^{2} \\ = {[(k + 1) + 2]}^{2} \end{aligned}

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

प्रश्‍न 14

(1 + \frac{1}{1}) (1 + \frac{1}{2}) (1 + \frac{1}{3}) + \dots + (1 + \frac{1}{n}) = (n + 1)

हल :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P (n) = (1 + \frac{1}{1}) (1 + \frac{1}{2}) (1 + \frac{1}{3}) \dots (1 + \frac{1}{n}) = (n + 1)

∴ n = 1

L.H.S. = 1 + 1/1 = 1 + 1 = 2

R.H.S. = (1 + 1) = 2

LHS = RHS

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P (k) = (1 + \frac{1}{1}) (1 + \frac{1}{2}) (1 + \frac{1}{3}) \dots (1 + \frac{1}{k}) = (k + 1) . . . . (i)

अब हम सिद्ध करेंगे किP(k + 1) भी सत्य है,

\begin{aligned} = [(1 + \frac{1}{1}) (1 + \frac{1}{2}) (1 + \frac{1}{3}) \dots (1 + \frac{1}{k})] (1 + \frac{1}{k + 1}) \\ = (k + 1) (1 + \frac{1}{k + 1}) \dots [eq(i) से] \\ = (k + 1) (\frac{k + 1 + 1}{k + 1}) \\ = [(k + 1) + 1] \end{aligned}

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

प्रश्‍न 15

1² + 3² + 5² + … + (2n - 1)² = $\frac{n (2 n - 1) (2 n + 1)}{3}$

हल :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) = 1² + 3² + 5² + … + (2n - 1)² = $\frac{n (2 n - 1) (2 n + 1)}{3}$

∴ n = 1

L.H.S. = 1² = 1

R.H.S. = $\frac{1 \times (2 \times 1 - 1) (2 \times 1 + 1)}{3} = \frac{3}{3}$ = 1

LHS = RHS

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(k) = 1² + 3² + 5² + … + (2k - 1)² = $\frac{k (2 k - 1) (2 k + 1)}{3}$ …(i)

अब,

\begin{aligned} = [1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + \dots + {(2 k - 1)}^{2}] + {(2 (k + 1) - 1)}^{2} \\ = [\frac{k (2 k - 1) (2 k + 1)}{3}] + {(2 k + 2 - 1)}^{2} \dots eq(i) से \\ = [\frac{k (2 k - 1) (2 k + 1) + 3 {(2 k + 1)}^{2}}{3}] \\ = (2 k + 1) [\frac{k (2 k - 1) + 3 (2 k + 1)}{3}] \\ = (2 k + 1) [\frac{2 k^{2} + 5 k + 3}{3}] \\ = (2 k + 1) [\frac{2 k (k + 1) + 3 (k + 1)}{3}] \\ = \frac{(2 k + 1) (2 k + 3) (k + 1)}{3} \\ = \frac{(k + 1) [2 (k + 1) - 1] [2 (k + 1) + 1]}{3} \end{aligned}

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

प्रश्‍न 16

\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \dots + \frac{1}{(3 n - 2) (3 n + 1)} = \frac{n}{(3 n + 1)}

हल :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P (n) = \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \dots + \frac{1}{(3 n - 2) (3 n + 1)} = \frac{n}{(3 n + 1)} $ ∴ n = 1 * * L . H . S . = * * $ \frac{1}{1 \cdot 4} = \frac{1}{4} $ * * R . H . S . = * * $ \frac{1}{(3 \times 1 + 1)} = \frac{1}{4} $ * * L H S = R H S * * P (n), n = 1 क े ल ि ए स त ् य ह ै । क ि स ी ध न प ू र ् ण ा ं क k क े ल ि ए क ल ् प न ा क ी ज ि ए क ि P (k) स त ् य ह ै, अ र ् थ ा त $ $ P (k) = \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \dots + \frac{1}{(3 k - 2) (3 k + 1)} = \frac{k}{(3 k + 1)}

अब हम सिद्ध करेंगे कि P(k + 1) भी सत्य है,

\begin{aligned} = [\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \dots + \frac{1}{(3 k - 2) (3 k + 1)}] + \frac{1}{[3 (k + 1) - 2] [3 (k + 1) + 1]} \\ = \frac{k}{(3 k + 1)} + \frac{1}{(3 k + 1) (3 k + 4)} [eq(i) से] \\ = \frac{1}{3 k + 1} [\frac{k (3 k + 4) + 1}{3 k + 4}] \\ = \frac{3 k^{2} + 4 k + 1}{(3 k + 1) (3 k + 4)} \\ = \frac{3 k (k + 1) + (k + 1)}{(3 k + 1) (3 k + 4)} \\ = \frac{(3 k + 1) (k + 1)}{(3 k + 1) (3 k + 4)} \\ = \frac{(k + 1)}{(3 k + 4)} \\ = \frac{(k + 1)}{(3 (k + 1) + 1)} \end{aligned}

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

प्रश्‍न 17

\frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 9} + \dots + \frac{1}{(2 n + 1) (2 n + 3)} = \frac{n}{3 (2 n + 3)}

हल :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P (n) = \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 9} + \dots + \frac{1}{(2 n + 1) (2 n + 3)} = \frac{n}{3 (2 n + 3)}

∴ n = 1

L.H.S. = $\frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{15}$

R.H.S. = $\frac{1}{3 (2 \times 1 + 3)} = \frac{1}{15}$

LHS = RHS

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P (k) = \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 9} + \dots + \frac{1}{(2 k + 1) (2 k + 3)} = \frac{k}{3 (2 k + 3)}

अब हम सिद्ध करेंगे कि P(k + 1) भी सत्य है,

\begin{aligned} = [\frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 9} + \dots + \frac{1}{(2 k + 1) (2 k + 3)}] + \frac{1}{(2 (k + 1) + 1) (2 (k + 1) + 3)} \\ = \frac{k}{3 (2 k + 3)} + \frac{1}{(2 k + 2 + 1) (2 k + 2 + 3)} [eq(i) से] \\ = \frac{1}{2 k + 3} [\frac{k (2 k + 5) + 3}{3 (2 k + 5)}] \\ = \frac{2 k^{2} + 5 k + 3}{3 (2 k + 5) (2 k + 3)} \\ = \frac{(k + 1) (2 k + 3)}{3 (2 k + 5) (2 k + 3)} \\ = \frac{(k + 1)}{3 (2 k + 5)} \\ = \frac{(k + 1)}{3 (2 (k + 1) + 3)} \end{aligned}

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

प्रश्‍न 18

1 + 2 + 3 + … + n < $\frac{1}{8}$ (2n + 1)²

हल :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) = 1 + 2 + 3 + … + n < $\frac{1}{8}$ (2n + 1)²

∴ n = 1

P(1) : 1 < $\frac{1}{8}$ (2 × 1 + 1)² = $\frac{9}{8}$

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(n) = 1 + 2 + 3 + … + n < $\frac{1}{8}$ (2n + 1)² … (i)

अब,

1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) < $\frac{1}{8}$ (2k + 1)² + (k + 1)

< $\frac{{(2 k + 1)}^{2} + 8 (k + 1)}{8}$

< $\frac{(2 k)^{2} + 2 \cdot 2 k \cdot 3 + 3^{2}}{8}$

< $\frac{(2 k + 3)^{2}}{8}$

< $\frac{1}{8} {[2 (k + 1) + 1]}^{2}$

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

प्रश्‍न 19

n(n + 1)(n + 5), संख्या 3 का एक गुणज है।

हल :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) : n(n + 1)(n + 5), जो 3 का गुणज है।

∴ n = 1

P(1) : 1 × (1 + 1)(1 + 5) = 1 × 2 × 6 = 12 जो 3 का गुणज है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(k) : k(k + 1)(k + 5) जो 3 का गुणज है।

या k(k + 1)(k + 5) = 3m

या k(k² + 6k + 5) = 3m

या k³ + 6k² + 5k = 3m

अब,

⇒ (k + 1)[(k + 1) + 1][(k + 1) + 5]

⇒ (k + 1)(k + 2)(k + 6)

⇒ (k + 1)(k² + 8k + 12)

⇒ k(k² + 8k + 12) + (k² + 8k + 12)

⇒ k³ + 8k² + 12k + k² + 8k + 12

⇒ k³ + 9k² + 20k + 12

⇒ k³ + 6k² + 3k² + 5k + 12

⇒ k³ + 6k² + 5k + 3k² + 12

⇒ 3m + 3(k² + 4)

⇒ 3(m + k² + 4) जो 3 का गुणज है।

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

प्रश्‍न 20

10^{2n - 1} + 1 संख्या 11 से भाज्य है।

हल :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) : 10^{2n - 1} + 1 संख्या 11 से भाज्य है।

∴ n = 1

P(1) : 10^{2 × 1 - 1} + 1 = 10 + 1 = 11 संख्या 11 से भाज्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(k) : 10^{2k - 1} + 1 संख्या 11 से भाज्य है।

या 10^{2k - 1} + 1 = 11m

या 10^{2k - 1} = 11m - 1

अब,

⇒ 10^{2(k + 1) - 1} + 1

⇒ 10^{2k + 2 - 1} + 1

⇒ 10^{(2k - 1) + 2} + 1

⇒ 10².10^{(2k - 1)} + 1

⇒ 100(11m - 1) + 1

⇒ 1100m - 100 + 1

⇒ 1100m - 99

⇒ 11(100m - 9)

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

प्रश्‍न 21

x²ⁿ - y²ⁿ, (x + y) से भाज्य है।

हल :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) = x²ⁿ - y²ⁿ, (x + y) से भाज्य है।

∴ n = 1

P(1) : x^{2 ⋅ 1} - y^{2 ⋅ 1} = x² - y² = (x + y)(x - y), (x + y) से भाज्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(k) = x^2k - y^2k, (x + y) से भाज्य है।

या x^2k - y^2k = m(x + y)

या x^2k = m(x + y) - y^2k

अब,

⇒ x^{2(k + 1)} - y^{2(k+ 1)}

⇒ x^{2k + 2} - y^{2k+ 2}

⇒ x²x^2k - y^{2k+ 2}

⇒ x²(m(x + y) - y^2k) - y^{2k+ 2}

⇒ x².m(x + y) - x².y^2k - y²y^2k

⇒ x².m(x + y) - y^2k (x² - y²)

⇒ x².m(x + y) - y^2k (x - y)(x + y)

⇒ (x + y)[mx² - y^2k (x - y)], (x + y) से भाज्य है।

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

प्रश्‍न 22

3^{2n + 2} - 8n - 9, संख्या 8 से भाज्य है।

हल :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) : 3^{2n + 2} - 8n - 9, संख्या 8 से भाज्य है।

∴ n = 1

P(1) = 3^{2⋅1 + 2} - 8 ⋅ 1 - 9 = 3⁴ - 8 - 9 = 81 - 17 = 64 , संख्या 8 से भाज्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(k) : 3^{2k + 2} - 8k - 9, संख्या 8 से भाज्य है।

या 3^{2k + 2} - 8k - 9 = 8m

या 3^{2k + 2} = 8m + 8k + 9

अब,

⇒ 3^{2(k + 1) + 2} - 8k - 9

⇒ 3^{2k + 2 + 2} - 8k - 9

⇒ 3².3^{2k + 2} - 8k - 9

⇒ 3²(8m + 8k + 9) - 8k - 9

⇒ 9(8m + 8k + 9) - 8k - 9

⇒ 72m + 72k + 81 - 8k - 9

⇒ 72m + 64k + 72

⇒ 8(9m + 8k + 9), संख्या 8 से भाज्य है।

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

प्रश्‍न 23

41ⁿ - 14ⁿ, संख्या 27 का एक गुणज है।

हल :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) = 41ⁿ - 14ⁿ, संख्या 27 का एक गुणज है।

∴ n = 1

P(1) : 41¹ - 14¹ = 41 - 14 = 27, संख्या 27 का एक गुणज है।

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(k) : 41^k - 14^k, संख्या 27 का एक गुणज है।

या 41^k - 14^k = 27m

या 41^k = 27m + 14^k

अब,

⇒ 41^{k + 1} -14^{k + 1}

⇒ 41.41^k -14^{k + 1}

⇒ 41(27m + 14^k) - 14.14^k

⇒ 41.27m + 41.14^k - 14.14^k

⇒ 41.27m + 14^k(41 - 14)

⇒ 41.27m + 14^k.27

⇒ 27(41m + 14^k), संख्या 27 का एक गुणज है।

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

प्रश्‍न 24

(2n + 7) < (n + 3)²

हल :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) : (2n + 7) < (n + 3)²

∴ n = 1

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(k) : (2k + 7) < (k + 3)² … (i)

अब,

P(k + 1) : 2(k + 1) + 7

⇒ 2k + 2 + 7

⇒ (2k + 7) + 2

< (k + 3)² + 2 … [eq(i) से]

< k² + 6k + 9 + 2

< k² + 6k + 11

∵ k² + 6k + 11 < k² + 8k + 16

∴ 2(k + 1) + 7 < [(k + 1) + 3]²

[(k + 1) + 3]² = (k + 4)² = k² + 8k + 16

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

अध्याय - 4 गणितीय आगमन का सिद्धांत (Principle of Mathematical Induction) ​

प्रश्‍नावली 4.1 ​

प्रश्‍न 1 ​

प्रश्‍न 2 ​

प्रश्‍न 3 ​

प्रश्‍न 4 ​

प्रश्‍न 5 ​

प्रश्‍न 6 ​

प्रश्‍न 7 ​

प्रश्‍न 8 ​

प्रश्‍न 9 ​

प्रश्‍न 10 ​

प्रश्‍न 11 ​

प्रश्‍न 12 ​

प्रश्‍न 13 ​

प्रश्‍न 14 ​

प्रश्‍न 15 ​

प्रश्‍न 16 ​

प्रश्‍न 17 ​

प्रश्‍न 18 ​

प्रश्‍न 19 ​

प्रश्‍न 20 ​

प्रश्‍न 21 ​

प्रश्‍न 22 ​

प्रश्‍न 23 ​

प्रश्‍न 24 ​

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अध्याय - 4
गणितीय आगमन का सिद्धांत (Principle of Mathematical Induction)

प्रश्‍नावली 4.1

प्रश्‍न 1

प्रश्‍न 2

प्रश्‍न 3

प्रश्‍न 4

प्रश्‍न 5

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प्रश्‍न 7

प्रश्‍न 8

प्रश्‍न 9

प्रश्‍न 10

प्रश्‍न 11

प्रश्‍न 12

प्रश्‍न 13

प्रश्‍न 14

प्रश्‍न 15

प्रश्‍न 16

प्रश्‍न 17

प्रश्‍न 18

प्रश्‍न 19

प्रश्‍न 20

प्रश्‍न 21

प्रश्‍न 22

प्रश्‍न 23

प्रश्‍न 24