NCERT Exemplar Problems Class 9 Maths Chapter 2: बहुपद Solutions Guide

 

(A) मुख्य अवधारणाएँ और परिणाम ​

गुणनखंड प्रमेय के प्रयोग द्वारा बीजीय व्यंजकों के गुणनखंड बीजीय सर्वसमिकाएँ : बीजीय सर्वसमिकाएँ -

• (x + y)² = x² + 2xy + y²
• (x − y)² = x² − 2xy + y²
• x² − y² = (x + y)(x − y)
• (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
• (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx
• (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ = x³ + y³ + 3xy(x + y)
• (x − y)³ = x³ − 3x²y + 3xy² − y³ = x³ − y³ − 3xy(x − y)
• x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²)
• x³ − y³ = (x − y)(x² + xy + y²)
• x³ + y³ + z³ − 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² − xy − yz − zx)

(B) बहु विकल्पीय प्रश्‍न ​

1. प्रतिदर्श प्रशन 1: यदि सभी + के लिए,

प्रश्‍नावली 2.1 ​

निम्नलिखित यें से प्रत्येक में सही उत्तर लिखिए -

1. निम्नलिखित में से कौन एक बहुपद है? (a) $\frac{x^2}{2}$ − $\frac{2}{x^2}$ (b) $\sqrt{2x}$ − 1 (c) x² + $\frac{3x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}}$ (d) $\frac{x-1}{x+1}$
2. निम्नलिखित घात का एक बहुपद है: (a) 2 (b) 0 (c) 1 (d) $\frac{1}{2}$
3. बहुपद 4x⁴ + 0x³ + 0x⁵ + 5x + 7 की घात है: (a) 4 (b) 5 (c) 3 (d) 7
4. शून्य बहुपद की घात है: (a) 0 (b) 1 (c) कोई भी प्राकृत संख्या (d) परिभाषित नहीं
5. यदि p(x) = x² − 2$\sqrt{2}$x + 1 है, तो p(2$\sqrt{2}$) बराबर है: (a) 0 (b) 1 (c) 4$\sqrt{2}$ (d) 8$\sqrt{2}$ + 1
6. जब x = −1 है, तो बहुपद 5x − 4x² + 3 का मान है: (a) −6 (a) 6 (a) 2 (a) −2
7. यदि p(x) = x + 3 है, तो p(x) + p(−x) बराबर है: (a) 3 (b) 2x (c) 0 (d) 6
8. शून्य बहुपद का शून्यक है: (a) 0 (b) 1 (c) कोई वास्तविक संख्या (d) परिभाषित नहीं
9. बहुपद p(x) = 2x + 5 का शून्यक है: (a) −$\frac{2}{5}$ (b) −$\frac{5}{2}$ (c) $\frac{2}{5}$ (d) $\frac{5}{2}$
10. बहुपद 2x² + 7x − 4 के शून्यकों में से एक है: (a) 2 (b) $\frac{1}{2}$ (c) −$\frac{1}{2}$ (d) −2
11. यदि x⁵¹ + 51 को x + 1 से भाग दिया जाए, तो शेषफल है: (a) 0 (b) 1 (c) 490 (d) 50
12. यदि x + 1 बहुपद 2x² + kx का एक गुणनखंड हो, तो k का मान है: (a) −3 (b) 4 (c) 2 (d) −2
13. x + 1 निम्नलिखित बहुपद का एक गुणनखंड है ः (a) x³ + x² − x + 1 (b) x³ + x² + x + 1 (c) x⁴ + x³ + x² + 1 (d) x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
14. (25x² − 1) + (1 + 5x)² के गुणनखंडों में से एक है: (a) 5 + x (b) 5 − x (c) 5x − 1 (d) 10x
15. 249² − 248² का मान है: (a) 1² (b) 477 (c) 487 (d) 497
16. 4x² + 8x + 3 का गुणनखंडन है: (a) (x + 1)(x + 3) (b) (2x + 1)(2x + 3) (c) (2x + 2)(2x + 5) (d) (2x − 1)(2x − 3)
17. निम्नलिखित में से कौन (x + y)³ − (x³ + y³) का एक गुणनखंड है? (a) x² + y² + 2xy (b) x² + y² − xy (c) xy² (d) 3xy
18. (x + 3)³ के प्रसार में x का गुणांक है: (a) 1 (b) 9 (c) 18 (d) 27
19. यदि $\frac{x}{y}$ + $\frac{y}{x}$ = −1 (x,y ≠ 0) है, तो x³ − y³ का मान है: (a) 1 (b) −1 (c) 0 (d) $\frac{1}{2}$
20. यदि 49x² − b = $(7x+\frac{1}{2})(7x-\frac{1}{2})$ है, तो b का मान है: (a) 0 (b) $\frac{1}{\sqrt{2}}$ (c) $\frac{1}{4}$ (d) $\frac{1}{2}$
21. यदि a + b + c = 0 है, तो a³ + b³ + c³ बराबर है: (a) 0 (b) abc (c) 3abc (d) 2abc

(C) तर्क के साथ संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्‍न ​

1. प्रतिदर्श प्रशन 1: निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य, लिखिए। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए। (a) $\frac{1}{\sqrt{5}}{x}^{\frac{1}{2}}$ + 1 एक बहुपद है (b) $\frac{6\sqrt{x}+x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}}$, x ≠ 0 एक बहुपद है।

प्रश्‍नावली 2.2 ​

1. निम्नलिखित में से कौन से व्यंजक बहुपद हैं? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए। (a) 8 (b) $\sqrt{3}$x² − 2x (c) 1 − $\sqrt{5}$x (d) $\frac{1}{5x^{-2}}$ + 5x + 7 (e) $\frac{(x-2)(x-4)}{x}$ (f) $\frac{1}{x+1}$ (g) $\frac{1}{7}$a³ − $\frac{2}{\sqrt{3}}$a² + 4a − 7 (h) $\frac{1}{2x}$
2. क्या निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य, लिखिए। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए। (a) एक द्विपद के अधिकतम दो पद हो सकते हैं (b) प्रत्येक बहुपद एक द्विपद है। (c) एक द्विपद की घात 5 हो सकती है। (d) एक बहुपद का शून्यक सदैव 0 होता है। (e) एक बहुपद के एक से अधिक शून्यक नहीं हो सकते हैं। (f) घात 5 वाले दो बहुपदों के योग की घात सदैव 5 होती है।

(D) संक्षिप्त उत्तरीय प्रशन ​

1. () जाँच कीजिए कि (४), &(%) का एक गुणज है या नहीं, जहाँ और gx) =2-— 3x है।
2. जाँच कीजिए कि ६(%),?(%) का एक गुणनखंड है या नहीं, जहाँ
3. प्रतिदर्श प्रश्‍न 2: ० का मान ज्ञात कीजिए, यदि ४-८ बहुपद + ८५ + 2४+८- 1 का एक गुणनखंड है।
4. प्रतिदर्श प्रश्‍न 3: (|) घनों का वास्तविक रूप से परिकलन किए बिना 483 - 30 - 183 का मान ज्ञात कोजिए।
5. 1. घनों को ज्ञात किए बिना (₹- )) + (५ - 2) + (ट - 2) के गुणनखंडन कोजिए।

प्रश्‍नावली 2.3 ​

1. निम्नलिखित बहुपदों को एक पद वाले, दो पद वाले, इत्यादि बहुपदों में वर्गीकृत कीजिए: (a) x² + x + 1 (b) y³ − 5y (c) xy + yz + zx (d) x² − 2xy + y² + 1
2. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक की घात निर्धारित कोजिए ; (a) 2x − 1 (b) −10 (c) x³ − 9x + 3x⁵ (d) y³(1 − y⁴)
3. बहुपद $\frac{x^3+2x+1}{5}$ − $\frac{7}{2}$x² − x⁶ के लिए, लिखिए: (a) बहुपद को घात (b) x³ का गुणांक (c) x⁶ का गुणांक (d) अचर पद
4. निम्नलिखित में से प्रत्येक में x² का गुणांक लिखिए: (a) $\frac{\pi }{6}$x + x² − 1 (b) 3x − 5 (c) (x − 1)(3x − 4) (d) (2x − 5)(2x² − 3x + 1)
5. निम्नलिखित को एक अचर, रैखिक, द्विघात और त्रिघात बहुपदों के रूप में वर्गीकृत कीजिए: (a) 2 − x² + x³ (b) 3x³ (c) 5t − $\sqrt{7}$ (d) 4 − 5y² 5. 3 6. 2 + x 7. y³ − y 8. 1 + x + x² 9. t² 10. $\sqrt{2}$x − 1
6. एक ऐसे बहुपद का उदाहरण दीजिए, जो: (a) () घात 1 का एक एकपदी है। (b) (¡) घात 20 का एक द्विपद है। (c) (म) घात 2 का एक त्रिपद है।
7. बहुपद 3x³ − 4x² + 7x − 5 के मान ज्ञात कोजिए, जब x = 3 हो तथा x = −3 हो।
8. यदि p(x) = x² − 4x + 3 है, तो p(2) − p(−1) + p$(\frac{1}{2})$ का मान निकालिए।
9. निम्नलिखित बहुपदों के लिए, p(0), p(1) और p(−2) ज्ञात कीजिए: (a) p(x) = 10x − 4x² − 3 (b) P(y) = (y + 2)(y − 2)
10. जाँच कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य: (a) −3 बहुपद x − 3 का एक शून्यक है। (b) बहुपद 3५+ 1 का एक शून्यक है। -= बहुपद्‌ 4-5) का एक शूऱ्यक है। (५) 0 और 2 बहुपद 1? - 2/ के शून्यक हैं। (४) -3 बहुपद )? + -6 का एक शून्यक है।
11. निम्नलिखित में से प्रत्येक में, बहुपद के शून्यक ज्ञात कीजिए:
12. बहुपद (४) = (४ - 2)? - (४ + 2)? के शून्यक ज्ञात कोजिए।
13. वास्तविक विभाजन द्वारा भागफल और शेषफल ज्ञात कीजिए जब पहले बहुपद को दूसरे बहुपद से भाग दिया जाता है: + + 1; + -1
14. शेषफल प्रमेय से शेषफल ज्ञात कीजिए, जब (2) को £(%) से भाग दिया जाता है, जहाँ कीजिए कि (१), £(४) का एक गुणज है या नहीं:
15. दर्शाइए कि: ४+ 3 बहुपद 69 + 11४ - »? + «? का एक गुणनखंड है। 2% -3 बहुपद ४ + 2४ - 9%? + 12 का एक गुणनखंड है।
16. निर्धारित कीजिए कि निम्नलिखित में से किस बहुपद का ४-2 एक गुणनखंड है:
17. दर्शाइए कि /- 1 बहुपद /!° - 1 का एक गुणनखंड है और साथ ही !!-1 का भौ एक गुणनखंड है।
18. के किस मान के लिए, + - 27%? + 16 द्विपद «+2 से विभाज्य है?
19. यदि ४ + 2८ बहुपद + - 4८२४ + 2% + 24 + 3 का एक गुणनखंड है, तो ८ ज्ञात कीजिए।

का मान ज्ञात कोजिए ताकि 2४-1 बहुपद 8%_ + 4%_ _ 16%? + 10४+

21. का मान ज्ञात कोजिए ताकि 2४-1 बहुपद 8%_ + 4%_ _ 16%? + 10४+ का एक गुणनखंड हो।
22. यदि + + 1 बहुपद ८४ + +? 2४ + 4८-9 का एक गुणनखंड है, तो ८ का मान ज्ञात कीजिए।
23. गुणनखंड कोजिए
24. गुणनखंड कोजिए:
25. उपयुक्त सर्वसमिका का उपयोग करते हुए निम्नलिखित के मान निकालिए:
26. निम्नलिखित के गुणनखंड कौजिए: निम्नलिखित के गुणनखंड कोजिए:
27. निम्नलिखित का प्रसार लिखिए:
28. निम्नलिखित के गुणनखंड कौजिए:
29. यदि + ८ = 9 और ८७ + ८ + ८० = 26 है, तो ८? +? + ८? का मान ज्ञात कीजिए। नम्नारलाखत प्रसार
30. निम्नलिखित के गुणनखंड कोजिए:
31. निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कौजिए:
32. गुणनखंड कोजिए:
33. निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए:
34. गुणनखंड कोजिए:
35. घनों का वास्तविक रूप से परिकलन किए बिना निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:
36. घनों को ज्ञात किए बिना गुणनखंड कोजिए:
37. निम्नलिखित के मान ज्ञात कौजिए:
38. उस आयत की लंबाई और चौड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिए जिसका क्षेत्रफल 4? + 4८-3 है।

(F) दीर्घ उत्तरीय प्रशन ​

1. प्रतिदर्श प्रश्‍न 1: यदि + + ) = 12 और +) = 27 हो, तो +` + + का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्‍नावली 2.4 ​

. यदि बहुपदों ०2 + 42? + 32-4 और 2? -42+८ को 2-3 से भाग देने पर, प्रत्येक दशा में समान शेषफल प्राप्त होता है, तो ८ का मान ज्ञात कीजिए। बहुपद 7(%) = +* _ 2४? + 3%? ०४+ 3८-7 को ४+ 1 से भाग देने पर शेषफल 19 प्राप्त होता है। ८ का मान ज्ञात कीजिए। उस स्थिति में भी शेषफल ज्ञात कीजिए जब इस बहुपद को होता है। ८ का मान ज्ञात कीजिए। उस स्थिति में भी शेषफल ज्ञात कीजिए जब इस बहुपद को . यदि५-2 और ४ - - दोनों ही 7%? + 5४+ 7 के गुणनखंड हैं, तो दर्शाइए कि 7 = 7 है। . बिना वास्तविक विभाजन के सिद्ध कोजिए कि +? -3४+2 है। [संकेतः +? - 3४+ 2 के गुणनखंड कीजिए] (2% - 5y)3 - (2% + 5) को सरल कोजिए। ¥+4y)?+2+24)+2८-2)८ को (-2+%- 2) से गुणा कोजिए। . यदि ८, और ८ में से प्रत्येक शून्येतर है तथा ८+०+८=0है, तो सिद्ध कीजिए कि यदि a+b+८=5 और ८ + ॥८ + ८० = 10 है, तो सिद्ध कीजिए कि +८3 -34b८ = - 25 है। , सिद्ध कीजिए कि(८+७+८)-@